线性回归

写在最前面的几句话，我们下面所有的问题的符号规约如下：

• 代表训练集中实例的数量
• 代表输入变量
• 代表目标变量
• 代表训练集中的实例
• 代表第个实例
• 表示第个变量
• 代表学习算法的解决方案或函数，也成为假设（hypothesis）
• 是代价函数

1、单变量线性回归

单变量的线性回归比较简单，一般表达式为，现在我们来求代价函数。我们一般用平方差损失函数，即，因为我们求的是平均损失，而所有的样本个数为m，那么，后面为了方便计算，在旁边乘了个2，所以，原公式变为，我们的目标是让损失函数最小。
一个经典的优化方法是梯度下降法（Gradient Descent）。从公式可以看出，我们需要找到一个参数和使得损失函数最小。现在所有的和是已知的，所以是关于和的函数（搞清楚这点很重要）。
现在我们考虑一个简单的情况，假设为0。那么损失函数变为，如果我们对和取任意的值，最后可以组成如下图所示的图形

可以看出当 是关于的函数时，我们需要取到一个使得最小。如果加上，对任意取值，最后可以形成如图所示的图形

横轴为，数轴为。所谓的梯度下降就是不断迭代使得损失函数最小。当然，一般的函数图像不会像这样的，一般都是这样像丘壑一样高低不平

梯度下降法（Gradient Descent）如下：首先我们需要对随机初始一个值，对应上图就是随机从图像的一点出发，然后不断更新。如图：

梯度下降这事怎么解释呢？首先我们很疑惑的是，为什么要减去导数？其实，我们只不过是沿着梯度的方向变化而已，而梯度的方向就是函数对各个变量偏导数的方向,我们需要这个方向，所以导数保留了，然后我们为什么乘，就是因为我们可以任意变换在梯度方向的变化量。总而言之最重要的一点是，梯度的方向！！！方向！！！
我们还是以最简单的情况来看，即，

我们每次都求导，那么沿着这个方向，我们不断变化然后取到最小值。
关于单变量的线性回归，我们可以求出他们需要更新值是：

推导很简单，直接将展开成，然后求偏导即可。

2、多变量线性回归

讲完了单变量线性回归，多变量就好讲了。多变量只不过多了很多的变量，它的目标函数变成了。但是为了公式简洁（数学家就是强迫症），我们假设，则公式转化为，然后代价函数是，梯度下降算法为：

即：

求导之后得到（是第个变量）：

例如（其他的就不写了，这只是举个栗子）：

3、一些基础杂点

3.1特征缩放

为什么需要特征缩放。因为在多维问题中，如果每一个变量的取值范围都差不多，那么梯度下降很快。但是如果一个变量的取值为0-5，另一个为0-2000，那么分别以这两个参数为横坐标，绘制损失函数的等高线图，可以看出图像很扁，梯度下降需要很多次迭代才能收敛。

如果将所有特征缩放到-1到1之间（很多缩放方法，比如最大最小缩放之类的）

可以看出图像并没有那么扁，梯度下降很好收敛。

3.2正规方程（最小二乘法）

损失函数的另一种解法是正规方程，它能一步得到解。这种解法是很直观的数学解法，但是在特征维度很多的时候，在工程上没有任何优势，所以现在都是用梯度下降。

这是代数形式的正规方程，当时吴恩达老师说如果求每个的偏导会很麻烦，所以用了矩阵的形式表示，然后解出：，这里都是向量。这种解法作为了解了，毕竟现在都是梯度下降的天下了。