加窗函数后频谱幅值发生了变化的修正技巧

在加窗函数前、后计算的频谱幅值发生了变化（矩形窗除外），这个变化是怎么发生的？该如何修正幅值呢？下面以汉宁窗函数为例进行说明。

一、矩形窗函数和汉宁窗函数的频谱

先来说明矩形窗函数的频谱。设离散的矩形窗函数rN（n）为

rN（n)的离散时间傅里叶变换（DTFT）为

利用三角函数的关系，由式（2-2-28）可导出

式（2-2-29）就是矩形窗函数DTFT的频谱。

设汉宁窗函数为

式中：rN（n)就是式（2-2-27)的矩形窗函数。由式（2-2-23)wH（n)的离散时间傅里叶变换
（DTFT）为

式中的Rv就是矩形窗函数的DTFT频谱，由式（2-2-29）表示；而式（2-2-31）给出了汉宁窗函数DTFT的频谱。

二、汉宁窗的幅值修正计算如下：
设修正系数为K，定义为

式中：AR为矩形窗的幅值，AH为汉宁窗的幅值。把式（2-2-29）与式（2-2-31）相除，令w=
0,有

将上式中w=2π/N代人到式（2-2-29）中，RN（土2π/N）的值为0。所以得到KH=2，KH表示为汉宁窗的修正系数。
下面把一些主要窗函数的幅值恢复系数列，在下表中，表内MATLAB函数中的N是窗函数的长度。

案例、信号由两个余弦信号组成，频率分别为f1=50Hz和f2=65.75Hz，幅值都为1，初始相角都为0，信号长度为1000，采样频率为1000Hz。通过加汉宁窗函数FFT求出两个正弦信号的幅值和初始相角。程序如下：

clear all; clc; close all;

fs=1000; % 采样频率
N=1000; % 信号长度
t=(0:N-1)/fs; % 设置时间序列
f1=50; f2=65.75; % 两信号频率
x=cos(2pif1t)+cos(2pif2t); % 设置信号
wind=hanning(N)‘;
X=fft(x.wind); % 乘窗函数并FFT
Y=abs(X)2/1000; % 计算幅值
freq=fs(0:N/2)/1000; % 设置频率刻度
[A1, k1]=max(Y(45:65)); % 寻求第1个信号的幅值
k1=k1+44; % 修正索引号
[A2, k2]=max(Y(60:70)); % 寻求第1个信号的幅值
k2=k2+59; % 修正索引号
Theta1=angle(X(k1)); % 计算信号f1的初始相角
Theta2=angle(X(k2)); % 计算信号f2的初始相角
Y1=Y2; % 对加窗后的幅值进行修正
% 显示频率和幅值
fprintf(‘f1=%5.2f A1=%5.4f A11=%5.4f Theta1=%5.4f\n’,freq(k1),A1,A12,Theta1);
fprintf(‘f2=%5.2f A2=%5.4f A21=%5.4f Theta2=%5.4f\n’,freq(k2),A2,A22,Theta2);
% 作图
subplot 211; plot(freq,Y(1:N/2+1),‘k’); xlim([40 75]);
line([0 100],[.5 .5],‘color’,‘k’);
xlabel(‘频率/Hz’); ylabel(‘幅值’); title(’(a)频谱图-幅值修正前’);
subplot 212; plot(freq,Y1(1:N/2+1),‘k’); xlim([40 75]);
line([0 100],[1 1],‘color’,‘k’);
xlabel(‘频率/Hz’); ylabel(‘幅值’); title(‘(b)频谱图-幅值修正后’);
set(gcf,‘color’,‘w’);
运行结果如下：

其中f1和f2表示两信号的频率，A1和A2表示两信号修正前的幅值，A11和A21表示两信号修正后的幅值，Theta1和Theta2表示两信号的初始相位角。而第1个信号的幅值和初始相角非常接近
于设置值，误差比例2-2-2的结果有很大的改善（例2-2-2中求得信号f1的幅值为A1=0.9896，初始相角为Thetal=0.0089）。这说明两个问题：①在例2-2-2中幅值和初始相角产生的误差是由第2个信号的泄漏造成的；②加了窗函数以后能减小泄漏，但幅值还是有些误差，若使用泄漏更小的窗函数则可进一步提高幅值的精度。
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