确定部分分式中待定系数的留数方法

确定部分分式中待定系数的留数方法

在将有理真分式化为确定部分分式和的过程中，可以使用留数对部分分式的系数进行求解。

这里介绍一篇论文，证明可以在论文中查看
设有理真分式
$$f(x)=\frac{P_m(x)}{Q_n(x)}$$
其中，
$$m<n$$
分为以下两种 情况进行讨论

a. Q(x)=0的根均为单根

.
即，此时要确定的系数就是f（x）在对应极点上的留数

b.根中有重根

单根的确定方法同a情况中的确定方法，对于重根,设x₁ 为r重根,考虑B_k
$$\begin{gathered} B_k=Res[(x-x_1{)}^{k-1}f(x),x_1] \\ 此时x_1为(x-x_1{)}^{k-1}f(x)的r-(k-1)=r-k+1级极点 \end{gathered}$$
利用留数极点计算公式 得，
$$\begin{gathered} B_k=\frac{1}{(r-k)!}\underset{x\to x_1}{\lim }[(x-x_1{)}^{r}f(x){]}^{(r-k)} \\ =\frac{1}{(r-k)!}[(x-x_1{)}^{r}f(x){]}^{(r-k)}{|}_{x=x_1} \end{gathered}$$

注：上述结论虽然是在实根条件下得出的，但经过博主研究，上述结论在根为复数单根，以及复数重根的条件下同样成立。

c.总结——基本思想

$$\begin{gathered} 要将有理真分式 \\ f(x)=\frac{P_m(x)}{Q_n(x)} \\ 在实数范围内化为部分分式和的形式，可将ｆ(x)视为特殊的复变函数ｆ(z) \\ 先将ｆ(z)化为部分分式和的形式,根据复变函数的积分和留数理论可得 \\ 其待定系数为ｆ(z)在极点处的留数 \end{gathered}$$