【数据结构】树与二叉树概念辨析

一、什么是树

• 树是一种非线性的数据结构，由有限个结点组成的有层次关系的集合。
• 之所以叫做树，是因为它像一棵倒挂的树，根朝上，叶子朝下。
  如图
• 其中，有一个特殊的结点叫做根结点。
  根结点没有前驱结点，可以有0个或多个后继结点。
  图中的A就是根结点。
• 任何一颗树 = 根 + 子树。
  图中的树除了根结点A，其余部分有三棵子树。
  而这三棵子树，又分别有自己的根和子树。
  如以B为根的树，有两棵子树，这两棵子树又分别以E和F为根 。

二、树的相关概念

• 结点的度：一个结点含有子树的个数
  如图，A结点的度是6，B结点的度是0，D结点的度是1，E结点的度是2。
• 树的度：树所有结点的度的最大值
  如图中的树的度为6。
• 叶结点：度为0的结点
  如B、C、H、I、P、Q、K、L、M、N都是叶结点。
• 分支结点：度不为0的结点
  如D、E、F、G、J都是分支结点。
• 父结点和子结点
  如D是H的父结点，H是D的子结点；E是J的父结点，J是E的子结点。
• 兄弟结点：有相同父结点的结点
  如B、C、D、E、F、G是兄弟结点。
• 堂兄弟结点：父结点在同一层的结点
  如H、I、K、N堂兄弟结点。
• 结点的层：从根开始，根为第1层，根的子结点为第2层…
  如图中的树总共有4层。
• 树的高度 / 深度
  如图中树的高度 / 深度是4。
• 结点的祖先：从根到该结点所经的所有结点
  如A、E、J是Q的祖先；A、F是K的祖先。
• 子孙：对任意一棵树，子树中的所有结点都是根结点的子孙
  如图中的树，所有结点都是A的子孙。
  在以E为根结点的子树中，I、J、P、Q都是E的子孙。

三、树与非树

对于树：

• 子树不能相交。
• 除了根结点，每个结点有且只有一个父结点。
• n个结点的树有n-1条边（即连接结点的线）。

四、树的表示

树的表示较为麻烦，除了数据域，还要表示结点之间的关系。
实际上，树有很多种表示方式，这里简单介绍最常用的一种。
如图：

typedef int DataType;
struct Node
{
	struct Node* firstChild1;    // 第一个孩子结点
	struct Node* pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点
	DataType data;               // 结点中的数据域
};

五、树的应用

树最常见的应用，就在于文件系统的目录结构。
如Linux树状目录结构：

六、什么是二叉树

顾名思义，二叉树就是最多有两个分叉的树。
如下图，二叉树就是由以下几种情况复合而成。

对于二叉树：

• 不存在度大于2的结点
• 二叉树的子树有左右之分

七、特殊的二叉树

1. 满二叉树：
   • 每层的结点数都达到最大值的二叉树。

2. 完全二叉树：

• 简单来说，就是在满二叉树的基础上，最后一层有结点但是不一定满，而且最后一层的结点从左到右必须是连续的。
• 比如上图的完全二叉树，最后一层的最右边的结点，只能是左子树，而不能是右子树。
• 满二叉树是完全二叉树的一种。

八、二叉树的性质

1. 对于一棵高度为h的满二叉树，它的结点个数是 2^h - 1。记忆：归纳法
   利用等比数列求和公式，很容易得到结果。

2. 对于一棵高度为h的完全二叉树，它的结点个数范围是多少。
   容易发现，前 h-1 层总是全满，个数为 2^(h-1) - 1。
   • 最小时，第h层只有一个结点，2^(h-1) - 1加上1，结点个数为2^(h-1) 。
   • 最大时，第h层结点全满，也就是满二叉树，先前我们计算过，结点个数是2^h - 1。

综上，结果为：

重要结论：

• 对任意一棵二叉树，第h层最多有2^(h-1)个结点。记忆：归纳法
• 对任意一棵二叉树，度为0的结点永远比度为2的多1个。
• 对任意一棵完全二叉树，度为1的结点要么1个，要么0个。

九、二叉树练习题

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
   A 不存在这样的二叉树
   B 200
   C 198
   D 199

由重要结论可知，二叉树度为0的结点比度为2的多1个，度为0的结点也就是叶子结点，个数为199 + 1 = 200。

2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
   A n
   B n+1
   C n-1
   D n/2

二叉树只有三种结点，度分别为0、1、2。
由重要结论可知，完全二叉树度为1的结点要么1个要么0个。
而二叉树度为0的结点比度为2的多1。
综上可知，度为0的结点有n个，度为1的1个，度为2的n-1个。
所以叶子结点的个数为n。

3. 一棵完全二叉树的结点数位为531个，那么这棵树的高度为（　）
   A 11
   B 10
   C 8
   D 12

由高度为h的完全二叉树结点个数范围可知，h=10。