高等数学强化3：一元函数积分学 P积分

1.不定积分

常见不定积分公式

1.不定积分2大类题型：

1.不定积分计算

2.不定积分杂例

若$f$在区间$I$上连续，则$f$在区间$I$上一定有原函数。
若$f$在区间$I$上有第一类间断点，则$f$在$I$上没有原函数。

2.不定积分性质：

3.不定积分计算方法：

1.第一类换元
2.第二类换元(三角代换)
3.分部积分法

无法进行积分的积分：
$\int e^{-x^2}dx$、$\int \frac{\sin x}{x}dx$、$\int \frac{\cos x}{x}dx$

$\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-({\tan }^{2}x)}$

题型：已知$F(x),f(x)$，求$f(x)$

2.定积分

1.定积分4大类题型：

1.定积分的概念、性质及几何意义

2.定积分计算

3.变上限定积分函数及其应用

4.积分不等式

2.定积分概念、几何意义

3.定积分的存在性

4.定积分的计算

5.变上限积分函数及应用

6.定积分的性质

中值定理应用1

中值定理应用2

中值定理应用3(求极限)

定积分计算

原函数不好找到时：

区间不动，令$t=a+b-x$

变上限积分函数及其应用

概念题1

概念题2

概念题3

变上限积分求极限解法：

1.传统方法（洛必达）
2.等价代换
3.积分中值定理

例题

反函数:

$g(f(x))=x$

反函数相关积分例题

3.反常积分

常用反常积分的判别敛散性公式：

应用实例：

${\int }_0^{1}xl{n}^{P}xdx\left\{\begin{array}{c}P>0收敛\end{array}\right\}$
${\int }_0^{1}l{n}^{P}xdx\left\{\begin{array}{c}P>0收敛\end{array}\right\}$

比较判别法

小的发散，大的一定发散。
大的收敛，小的一定收敛。

P级数/P积分(无限区间)：

${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^P}dx(a>0)\left\{\begin{array}{c}P>1收敛\\ P\le 1发散\end{array}\right\}$

瑕点在区间中间，分成左右两段，左右极限都存在，才收敛。

q积分(有限区间)：

${\int }_a^b\frac{1}{x^P}dx\left\{\begin{array}{c}P<1收敛\\ P\ge 1发散\end{array}\right\}$
无限区间P比1越大越收敛，有限区间P比1越小越收敛。