2022年9月CSP认证题解 如此编码(k进制),何以包邮?(背包问题),吉祥物投票(珂朵莉树、懒标记、并查集)

2022年9月CSP认证题解 如此编码(k进制),何以包邮?(背包问题),吉祥物投票(珂朵莉树、懒标记、并查集)_第1张图片

T1 如此编码

思路

由公式
在这里插入图片描述
和前缀乘积定义
在这里插入图片描述
m = b 1 + a 1 × b 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a 1 × a 2 × ⋅ ⋅ ⋅ × a n − 1 × b n m=b_1+a_1\times b_2+···+a_1\times a_2\times···\times a_{n-1}\times b_n m=b1+a1×b2+⋅⋅⋅+a1×a2×⋅⋅⋅×an1×bn
上述公式可以提取公共乘项 a i a_i ai,写成 m = ( b n b n − 1 ⋅ ⋅ ⋅ b 1 ) a m=(b_nb_{n-1}···b_1)_{a} m=(bnbn1⋅⋅⋅b1)a,类似 k k k进制表达,但每一位权的变化倍数不是常数 k k k,而是 a k a_k ak,对于 b [ i ] b[i] b[i]的求解,类比10进制转 k k k进制,将 k k k替换为 a [ i ] a[i] a[i]即可。

代码

void solve() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<int> a(n), b(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        b[i] = m % a[i];
        m /= a[i];
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) cout << b[i] << ' ';
    cout << '\n';
}

T2 何以包邮?

思路

背包问题,问题等价于求 ( m − x ) (m-x) (mx)的钱最多买几本书。

代码

void solve() {
    int n, x; 
    cin >> n >> x;
    vector<int> a(n);
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i], sum += a[i];
    int v = sum - x;
    vector<int> dp(v + 1, 0);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = v; j >= 0; j--) {
            if (j >= a[i]) {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - a[i]] + a[i]);
            }
        }
    }
    cout << sum - dp[v] << '\n';
}

T4 吉祥物投票

思路

看见区间赋值操作且维护区间长度为 1 e 9 1e9 1e9,很容易想到珂朵莉树,用set维护一系列区间。

珂朵莉树模板

  • 结构体nodevmutable修饰,访问容器set时迭代器const修饰,只读,通过该mutable使得整个结构体只读时该成员仍可变,为后面区间加操作铺垫。
  • split()将区间从pos处断开,并返回以pos为左端点的迭代器。这里首先调用set自身的二分方法lower_bound()找到左端点不小于pos的区间,找到后判断it->l == pos,若满足则不需要断开区间,直接返回;否则pos在前面一个区间中,将该区间断开为node(L, pos - 1, V)node(pos, R, V),重新插入容器,insert方法成功插入后返回迭代器,返回该对象。
  • assign()区间赋值,这里先split(r+1)获取结束端点是因为(r+1)可能在begin指向区间,操作使迭代器begin失效。之后erase(begin,end),插入新区间即可。
struct node {
    ll l ,r;
    mutable ll v;
    node(ll l, ll r, ll v) : l(l), r(r), v(v) {}
    bool operator<(const node &a) const { return l < a.l; }
};

set<node> tree;

set<node>::iterator split(ll pos) {
    auto it = tree.lower_bound(node(pos, 0, 0));
    if (it != tree.end() && it->l == pos)
        return it;
    it--;
    ll L = it->l, R = it->r, V = it->v;
    tree.erase(it);
    tree.insert(node(L, pos - 1, V));
    return tree.insert(node(pos, R, V)).first;
}

void assign(ll l, ll r, ll v) {
    auto end = split(r + 1), begin = split(l);
    tree.erase(begin, end);
    tree.insert(node(l, r, v));
}

部分分做法

用一个数组cnt[]维护每个作品的得票,在assign操作时实时更新,这样可以 O ( 1 ) O(1) O(1)回应操作4,查询每个作品的得票。
对于操作2,3,暴力 O ( m ) O(m) O(m)访问容器内所有段,修改v值,由于mutable关键字我们可以直接通过迭代器修改。
对于操作5,开一个map,暴力 O ( m ) O(m) O(m)访问容器内所有段,统计最大者。
这样可以得45分。

全部分做法

① 首先,用set维护区间最大值, O ( 1 ) O(1) O(1)回应操作5,这个在之前的3月份的第四题通信管理中也用到过,详见我的博客CSP22.3 T4通信系统管理;
② 对于操作2,3,我们并不需要真的修改容器内的值,只需要改变标签和v值的映射即可,一种懒惰更新方法,开一数组lazy[],标签 i i i所对应的v值为lazy[i],对于操作2,交换lazy[x]lazy[y];而对于操作2,我们引入并查集,将多个v值映射到一个懒标记lazy[w]上,此时标签 i i i所对应的v值可能有多个,满足find(v)=lazy[i],同时lazy[x]赋一个从未使用过的数字即可,另外我们维护从懒标记到标签的映射inv[]

举个例子:
假设set中维护了以下段:(1,3,2),(4,5,1),(6,9,3),(10,12,2),此时还未执行过操作2,3,标签和lazyfa层之间的映射为

tag lazy fa
1 1 1
2 2 2
3 3 3

执行操作3 1 2后,容器内容不变:

tag lazy fa
1 2 1
2 1 2
3 3 3

这时统计标签为1的段,应该统计val值满足lazy[1]=2的段,执行操作2 2 1之后,容器同样不变,而映射变为:

tag lazy fa
1 2 2
2 4 2
3 3 3
4

统计标签为1的段,应统计val值满足find(val)=lazy[1]=2的段,即val值为1,2的段。

有一个地方我调了很久,就是操作5中输出最多得票的编号最小者,这个编号经过层层映射,早已不是容器内v值,或者find(v),而是对应标签inv[find(v)]的最小者,由于我们插入时已经取了find(v),保证v==find(v),因此将所有最多得票者的inv[v]中取最小输出答案。

代码

struct node {
    int l ,r;
    mutable int v;
    node(int l, int r, int v) : l(l), r(r), v(v) {}
    bool operator < (const node &a) const { return l < a.l; }
};

struct pp
{
    int k, v;
    bool operator < (const pp& a) const {
        if (v != a.v) return v > a.v;
        return k < a.k;
    }
};

set<node> tree;     // Chthollty tree
int lazy[200005], cnt[200005], fa[200005];
map<int , int> inv;     // 建立标记和标签之间双射
set<pp> all;  // 维护区间最值

int _find(int x) {
    if (x == fa[x]) return x;
    return (fa[x] = _find(fa[x]));
}

void _union(int x, int y) {
    fa[_find(y)] = _find(x);
}

set<node>::iterator split(int pos) {
    auto it = tree.lower_bound(node(pos, 0, 0));
    if (it != tree.end() && it->l == pos)
        return it;
    it--;
    int L = it->l, R = it->r, V = it->v;
    tree.erase(it);
    tree.insert(node(L, pos - 1, V));
    return tree.insert(node(pos, R, V)).first;
}

void assign(int l, int r, int v) {
    auto end = split(r + 1), begin = split(l);
    int tv; // 标记可能被操作2合并至另一个标记,fa[]存储真实标记
    for (auto it = begin; it != end; it++) {
        tv = _find(it->v);
        all.erase({tv, cnt[tv]});
        cnt[tv] -= (it->r - it->l + 1);
        all.insert({tv, cnt[tv]});
    }
    tree.erase(begin, end);
    tv = _find(v);
    tree.insert(node(l, r, tv));
    all.erase({tv, cnt[tv]});
    cnt[tv] += (r - l + 1);
    all.insert({tv, cnt[tv]});
}

void solve() {
    int n, m, q; cin >> n >> m >> q;
    int tot = m;
    tree.insert(node(1, n, 0));
    for (int i = 0; i <= max(2 * m, 2 * q); i++) lazy[i] = fa[i] = i;
    for (int i = 1; i <= m; i++) inv[i] = i;

    cnt[0] = n;
    all.insert({0, n}); // 1e9

    int op, l, r, x, w, y;
    while (q--) {
        cin >> op;
        if (op == 1) {
            cin >> l >> r >> x;
            assign(l, r, lazy[x]);
        }
        else if (op == 2) {
            cin >> x >> w;
            int fx = lazy[x], fy = lazy[w];
            all.erase({fx, cnt[fx]});
            all.erase({fy, cnt[fy]});
            cnt[fy] += cnt[fx];   // 标记lazy[x]弃用
            all.insert({fy, cnt[fy]});
            _union(fy, fx);
            lazy[x] = ++tot, inv[tot] = x;  // 创建一个新标记
        }
        else if (op == 3) {
            cin >> x >> y;
            swap(inv[lazy[x]], inv[lazy[y]]);
            swap(lazy[x], lazy[y]);
        }
        else if (op == 4) {
            cin >> w;
            cout << cnt[lazy[w]] << '\n';
        }
        else if (op == 5) {
            int ans = 0, ansi = 0;
            for (auto it : all) {
                if (it.k && it.v > ans) {
                    ans = it.v;
                    ansi = inv[it.k];
                }
                if (it.k && it.v == ans && inv[it.k] < ansi) ansi = inv[it.k];
                if (ans > it.v) break;
            }
            cout << ansi << '\n';
        }
    }
}

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