最长上升子序列

目录

        题目描述：

        解法一、动态规划：

        解法二、贪心+二分：

        样例：

题目描述：

给定一个长度为 n 的数组 a1, a2, …, an，问其中的最长上升子序列的长度。也就是说，我们要找到最大的 m 以及数组 p1, p2, …, pm 满足 1 ≤ p1 < p2 < ⋯ < pm ≤ n 并且 ap1 < ap2 < ⋯< apm。

输入格式：

第一行一个数字 n。

接下来一行 n 个整数 a1, a2, …, an。

输出格式：

一个数，表示答案。

解法一、动态规划：

#include 
using namespace std;
const int N = 1010;
//dp[i]表示以i结尾的最长上升子序列
//其中i位置上的数一定包括在内
int n, a[N], dp[N], ans;

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", &a[i]);
    //若以第一个字符结尾，则最长上升子序列为本身，即为 1
    dp[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        //不管这个数的大小，以第 i 个字符结尾的最长上升子序列
        dp[i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; ++j)
            //若在位置i之前找到某个数比它小，则进行判断
            if(a[i] > a[j])
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        ans = max(ans, dp[i]);
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

解法二、贪心+二分：

#include
using namespace std;
const int INF = 1e9 + 10;
const int N = 1e5 + 10;
int n, ans, a[N], low[N];

//使用二分法找出low数组中第一个大于x的数的下标
int find(int r, int x) {
    int l = 1, mid;
    while(l <= r) {
        mid = (l + r) / 2;
        if(low[mid] <= x)
            l = mid + 1;
        else
            r = mid - 1;
    }
    return l;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &a[i]);
        low[i] = INF;
    }
    //首先将第一个数放入low数组中
    low[1] = a[1];
    ans = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        //若此时判断的数大于low中的最大值，则直接放入数组中
        if(a[i] > low[ans])
            low[++ans] = a[i];
        //否则找到第一个大于该数的数，并将其替换
        else
            low[find(ans, a[i])] = a[i];
    }
    //注意，low数组中存储的并不是正确的最长上升子序列，仅仅存储了正确的长度
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

 

样例：

输入：

6

3 7 4 2 6 8

输出：

4