层次分析法（AHP）

简介：

AHP是Analytic Hierarchy Process的简称，中文名为：层次分析法，是美国运筹学家、匹兹堡大学T. L. Saaty教授在20世纪70年代初期提出的。AHP是对定性问题进行定量分析的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。它的特点是把复杂问题中的各种因素通过划分为相互联系的有序层次，使之条理化，根据对一定客观现实的主观判断结构，把专家意见和分析者的客观判断结果直接而有效地结合起来，将一层次元素两两比较的重要性进行定量描述。而后，利用数学方法计算反映每一层次元素的相对重要性次序的权值，通过所有层次之间的总排序计算所有元素的相对权重并进行排序。该方法自1982年被介绍到我国以来，迅速地在我国社会经济各个领域内得到了广泛的重视和应用。

步骤：

（1）通过对系统的深刻认识，确定该系统的总目标，弄清规划决策所涉及的范围、所要采取的措施方案和政             策、实现目标的准则、策略和各种约束条件等，广泛地收集信息。

（2）建立一个多层次的递阶结构，按目标的不同、实现功能的差异，将系统分为几个等级层次。

（3）确定以上递阶结构中相邻层次元素间相关程度。通过构造两比较判断矩阵及矩阵运算的数学方法，确定              对于上一层次的某个元素而言，本层次中与其相关元素的重要性排序--相对权值。

（4）计算各层元素对系统目标的合成权重，进行总排序，以确定递阶结构图中最底层各个元素的总目标中的           重要程度。

（5）根据分析计算结果，考虑相应的决策。

层次分析法所要解决的问题是关于低层对高层的相对权重的问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中做出选择或形成选择方案的原则

构造矩阵：

层次分析法中构造判断矩阵的方法是一致矩阵法，即：不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较；对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同因素相互比较的困难，以提高准确度。

层次单排序及其一致性检验：

层次单排序

对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量，经归一化（使向量中各元素之和为1）记为W。W 的元素为同一层次元素对于上一层因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。

一致性检验

一致性检验是为了检验各元素重要度之间的协调性，避免出现A比B重要，B比C重要，而C又比A重要，这样的矛盾情况出现。

为了衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI 

定义一致性比率：

一般认为一致性比率CR<0.1 时，认为A的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵A，对 aij 加以调整。

一个例子：

注：a1只对b1 b2 b3 有权重，b4 b5 b6 不属于a1 ，没有权重

准则层2对方案层和以上类似，这里不再赘余，但是要注意准则层2对方案层为3阶矩阵并非6阶，初学者这这里可能还有疑惑，并且数量为6个

特征矩阵最大特征根λ 和最大特征向量 W 的简单计算：

可以看到经简单计算后的λ  的值和精准计算后的值并不影响结果

层次总排序及其一致性检验：

1.计算某一层次所有因素对于最高层（总目标）相对重要性的权值，称为层次总排序。

2.这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。

此处为三阶，多阶同理

经验证层次总排序通过一致性检验

算法总结：

应用领域：经济计划个管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。

处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。

建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。

构造成对比较矩阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。

层次分析法的优点：

系统性：将对象视作系统，按照分解，比较，判断，综合的思维方式进行决策。成为继机理分析，统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具