二分查找背模板？我选择去理解它：基础篇
二分查找背模板？我选择去理解它！：基础篇
本篇文章是本人学习二分时的一些理解，文章较为啰嗦诙谐，如果各位急于学习的话可以直接移步到第四节的部分，看完你一定会有所收获
零、序言——注意看，眼前的这个男人叫
小帅，他正打算和旁边的小美一起玩一个游戏，这个游戏叫猜数字，规则如下：一个人想一个0到100的数字，然后另一个人来猜，根据那个人猜的数字回应他大了、小了和正正好，看看谁猜出来数字所用的次数最少。
小帅是个老实人，它从0开始一个个的猜，这样肯定能猜到正确的答案，不过小美想的数字是78，小帅猜了79次才猜到。
小帅为了不输，于是他想的数字是79——比78大一点点，他以为这样就可以赢过小美了。
但是我们大女主小美一点都不care，她只用了6次就猜出了正确答案，降维打击！
她会读心吗？开挂了？运气好？
我们来看看她是怎么猜的。
她第一次猜的数字是50，小帅回答小了。
她第二次猜的数字是75，小帅回答小了。
她第三次猜的数字是87，小帅回答大了。
她第四次猜的数字是81，小帅回答大了。
她第五次猜的数字是78，小帅回答小了。
她第六次猜的数字是79，小帅回答正正好。
是的，相比较小帅的老实人操作，小美用了一点点的方法。
小美的做法是有根据的，她每次都只问最中间的那个数，那么每一次，根据小帅的回答过大或过小，她都可以排除掉一半的错误答案。
比如第一次小美猜的50，小帅回答小了，那么很明显，0到50间的所有数我们都不用去猜了，回答肯定都是小了。
那么接下来我们就只用从51到100之间猜数了。
至于0到50的数，我们将它们排除了。
像这样，每次都排除掉区间内一半的答案，最坏的情况下，我们也只用8次就可以猜出正确答案了。
至于像这样这样每次查找中间的元素，再根据反馈不断收缩区间的方法，就叫做：
一、认识认识它吧——二分查找
二分查找，也叫折半查找，它被广泛的用于在特定的环境下快速找到某一元素，常见的情况就是：在一个有序数组中查找目标值。
当我们在一个区间内查找答案时，每次都查找位于区间中间的元素，然后根据查找的元素和目标值的关系逐步收缩区间。
由此可以做到，每一次查找时，都可以排除掉一半的错误答案，那么对于一个长度为n的数组来说，只需要最多
log 2 n + 1 \log_2^{n}+1 log2n+1
次就可以找到目标值的位置了。时间复杂度就为：
O ( log n ) O(\log^{n}) O(logn)
而正常情况下，在一个数组内查找元素，如果我们选择遍历数组的方法来查找，它的时间复杂度为：
O ( n ) O(n) O(n)
在刚刚的游戏中，小帅使用的就是遍历数组的方式，而小美使用的是二分查找法，谁的效率更高，高下立判。
好的，现在二分查找的原理你已经知道了，是不是很简单？
不过，二分也并不是万能的！它是有自己的局限性的！
那么，就让我们来看看——
二、啥时候能用二分呢
刚刚我们在介绍二分时说了：“它被广泛的用于在特定的环境下快速找到某一元素。”
这个特定要注意了。
二分不是什么时候都能用的，就比如说如果我们想要在数组中查找特定值，就必须要保证这个数组是有序的（逆序或正序无所谓，有序就行），如果数组不是有序的情况下，我们去使用二分查找，会使得我们得到的结果是错误的。
比如：
1 5 4 8 9
我想找5在哪个位置，我先枚举中间的位置，是4。
发现小了，那么我要往右边找。
但我们发现此时答案就已经不对劲了。
由此可知，这个特定的环境不能少啊！（拍桌）
那么什么时候算特定的环境呢？
根据我个人的经验，如果一个题目的答案具有单调性，那么就可以使用二分查找。
什么是单调性呢？
从某一个分界点开始，答案分成了前后两个不同的部分，且这两部分的答案不会混乱，此时我们要做的就是找到这个分界点。
在正常的二分查找中，单调性体现在目标值和数组中数字的大小关系。
比如刚刚猜数字，他猜的是x，那么在x之前的数，答案都是小于x，在x之后的数，答案都是大于x，没有说x之后有哪个数是小于x的，这就是答案的单调性。
在二分答案（二分查找的另一种用法）中，单调性体现在最大、最小、恰好等字眼中。
比如去买东西，不知道要多少钱才可以买完我想要的全部东西，要求出最少需要的钱数，它就是分界点。比它大的钱数都能保证钱够买完我们想要的东西，比它小的钱数则都买不完。
而答案混乱就是指我们上面举的数组非有序的例子，分界点5之后的所有数并不都是大于5的，这样答案就失去了单调性，此时使用二分搜索是错误的！
所以切记，二分查找虽好，可不要乱用噢。
二分查找的使用条件我们已经知道了，那么接下来让我们——
三、来看看代码是怎么实现的
这里先给出二分查找的两种模板代码。
（注意，二分的模板有很多种写法，根据不同人的喜好使用不同的方法，我这里写的是我个人比较喜欢用的）
//查找数组中第一个大于x的元素
while(l一共也就四行代码。以上变量的意思是：
l:区间的左端点。
r:区间的右端点。
mid:每次我们枚举的，区间中间的位置。
a[]:数组。
x:目标值。
就像我们说的，每次我们都枚举的是中间的元素，所以mid=(l+r)/2，然后通过if判断目标值和我们当前枚举元素的关系，来决定是修改区间的左端点l，还是修改区间的右端点r。
现在感觉确实很简单有没有？
不过！正当一个小萌新信心满满的开始用它去写题时，意外发生了！
“啊？为什么超时啊？不是说这个算法很快吗？”
“啊？？为什么这个while它停不下来啊？”
“啊？？？为什么这个答案是错的啊？”
“算啦！我还是把代码背下来吧！反正都能用！”
“嗯？？？？怎么这里+1，这里又-1，这里又不变的？”
“搞什么鬼啊啊啊啊啊！！！！”
是的！我们的小萌新惨遭滑铁卢啦（哈哈哈哈哈）！
至于让我们的小萌新感到如此抓狂的，便是令人破防的边界问题！
在我们学习二分查找的过程中，多多少少都应该遇到过上面小萌新的情况，二分算法虽然是初级算法，但是是许多算法初学者的噩梦，甚至有的很多学到很后面了的，也搞不清二分的边界问题。我当时也是深受其害呀。
而当你想背下代码直接用时，发现背着背着好像有点混乱？
而且二分是很灵活的！不同的情况下，二分查找都有不同的写法，光靠背真的很难受啊！
而且对于想挑战程序设计竞赛的同学们来说，认识一个知识点，背下它的代码有时候真的不是很方便。
程序设计竞赛麻烦的不是一个知识点，而是如何把一个知识点玩出花来。
有时候看看大佬们的题解，就会不由得惊叹： “啊？这个还能这么用吗？”
所以！（再次拍桌）
比起愣愣的记下代码，我选择——
四、背什么？掌握它！——这一段会有点长，但绝对简单易懂，不骗你！
我们来看看刚刚给出的两个模板。
//查找数组中第一个大于x的元素
while(l来！我们来玩找不同！
看看这两个代码有几处不同呢？
很明显的看出，有四处：
1、当前所枚举的元素
int mid=(l+r)/2
or
int mid=(l+r+1)/2
2、收缩左区间
l=mid+1
or
l=mid
3、收缩右区间
r=mid
or
r=mid-1
4、判断条件
a[mid]总的就是这么四种情况，确实，有点乱，不过好在其他的地方都没有问题啊。
去掉那几个情况后，代码的模板就变成了：
while(l虽然好像也不剩啥了，但是不急！
从现在开始，我们一步一步的还原这个代码！
在我们还原代码时，我们要先记下一个操作：
我们要始终保证正确的答案在我们的区间[l，r]中，（包括l和r的位置）
好，现在我们要想一个使用二分的环境，就选择：在升序数组中找第一个大于等于x的值的位置。
那么首先的，我们肯定是要枚举区间中间的元素。
我们加上：
while(l好的，现在我们已经枚举了一个元素，这个元素只可能有两种情况：大于等于x 和 小于x。
随便选一种情况放入 if 中，就当他大于等于x吧，我们把这个写上：
while(l=x)
else
}
我们要找的是第一个大于等于x的值，而现在，我们枚举的元素确实是大于等于x的。
但是我们并不知道这个元素是不是第一个。
那么很显然的，想知道是不是第一个，我们就去它的左边看看有没有比他更早大于等于x的元素。
如果有，它就不是第一个了；反之，它就是第一个，也就是我们要找的答案。
但不管怎么样，它右边的元素我们肯定不用找了，他右边的元素怎么可能比他还早大于等于x呢？
所以我们这里要做的是收缩右端点，即修改r的值。
问题来了！这里是写 r=mid ?还是 r=mid-1 。
虽然我们现在不知道枚举的这个元素是不是答案，但它也许是对的。（毕竟如果右边没有比他更早一步的元素，它就是答案了）
那么我们称它是一个：可能的答案。
如果我们选择了 r=mid-1，会发生什么事？我们把这个元素去掉了！
回想我一开始说的：
我们要始终保证正确的答案在我们的区间[l，r]中，（包括l和r的位置）
如果我们选择了r=mid-1，那就会去掉一个可能正确的答案，所以我们不要这么干。
所以很显然，这里我们要写的当然是r=mid:
while(l=x)r=mid;
else
}
如果我们枚举的这个元素是小于x呢？
它不满足大于等于x，是一个错误的答案。
并且它左边的所有元素都是错误的答案，此时我们就要收缩左端点，即修改l的值，来排除错误答案。
那么这里我们是选择 l=mid ?还是 l=mid+1 。
再次看我们上面的那句话。
我们只要保证正确的答案在我们的区间中就可以了，而这个答案明显是一个错误的答案，那么我们当然可以顺手把他去掉啦。
所以我们这里写的就是l=mid+1.
while(l=x)r=mid;
else l=mid+1
}
那么现在，有问题的地方就剩下一处了，就是mid那里到底要不要+1？
关于这个问题，我们首先想到的应该是：为什么会有+1这个操作？
这里先说一下，这个+1，其实是一个手动四舍五入的过程。
我们这里进行的是整数除法，而我们知道，整数的除法会自动去掉尾部的小数，而不是帮你四舍五入，比如：(3+4)/2得到的是3而不是4。
而当我们+1后，原来偶数的运算变成奇数了，但是结果没有变化；原来奇数的运算变成偶数了，结果+1。
如果把它放在我们的程序里，表示的意义就是我们枚举元素时，更容易枚举到一个偏向右边的元素。
- 如果区间端点相加(l+r)是偶数，那么枚举的位置就是正中间，没有问题。
- 但当区间端点相加是奇数，那么枚举的位置就和我们是否四舍五入有关系了
如果我们没有四舍五入，枚举的元素就是一个偏左边的元素；
如果四舍五入，枚举的元素就是一个偏右边的元素。
这就是我们在mid里+1的意义。
那么我们什么时候+1，什么时候不+1呢？
这一点，要看我们要找的答案偏向哪个方向。
比如我们这里要找的是第一个大于等于x的元素，注意这个第一个。
既然说是第一个了，那么对于我们来说，这个元素肯定越往左越好。因为只要尽可能的往左找，要是找到了大于等于x的元素，那不就是答案了吗？如果我们尽可能往右找，那么有可能这个元素的左边有比它先一步大于等于x的。
所以，在现在这个情况，答案是偏向左边的。
PS:注意！是偏向左边！而不是答案就在左边！
比如：
1 3 5 7 9 11 13
我们想在这个数组找第一个大于等于10的元素，那么很明显答案是11，但对于其它大于等于10的元素来说，11确实是 “偏向左边” 的。
所以我们就不需要给它手动的四舍五入了。
那么我们的代码就写完了，即：
while(l=x)r=mid;
else l=mid+1
}
//if和else是可以互相替换的，无所谓
while(l 这就是利用二分查找在升序数组中查找第一个大于等于x的值。
怎么样？有没有恍然大悟的感觉？？
我们再来试一试：查找升序数组中最后一个小于x的元素
首先还是空模板：
while(l枚举中间元素：
while(l如果我们枚举的元素小于x，说明是可能正确的答案，我们收缩左区间，即：l=mid.
while(l如果我们枚举的元素大于等于x，说明是错误的答案，我们收缩右区间，同时排除掉他，即：r=mid-1.
while(l然后再想一想，答案要找的是最后一个小于x的元素，那么对于我们来说，这个元素肯定越往右越好，我们在mid处手动四舍五入，即：mid=(l+r+1)/2.
那么我们的代码就写完了：
//升序数组内查找最后一个小于x的元素
while(l=x)r=mid-1;
else l=mid;
}
要特别注意！以上我说的两种情况都是在“升序数组”中进行的，如果是逆序数组，则区间的收缩会相反。
以上就是我们的全部内容了。
什么？你还有点懵懵的？没事，多看几遍！
那么最后，就是我们的——
五、结尾啦——快乐的时光总是短暂的呀
总结一下内容就是：
- 二分查找的复杂度为O(logn)。
- 使用二分查找必须要保证答案具有单调性。
- 边界问题要注意，根据具体所求，逐步分析。
分析代码的四个步骤：
- 准备空模板。
- 如果当前枚举的元素满足目标值的关系，区间收缩，但要保证它在区间里呆着。
- 如果当前枚举的元素不满足目标值的关系，区间收缩，可以顺手把它从区间排除。
- 判断答案偏向左边就不变，偏向右边就+1.
其实这么看下来，二分查找并不苦难呀，但就像我之前说的：
“学习一个知识点并不太难，难的是如何能玩出花来。”
最重要的还是多写题积累经验，所以学习完后建议多去找找相关知识点的题来写噢，感受AC的快感。
最后如果本篇文章帮到了您，不知是否能点一个小小的赞呢。（拜托了！这对我真的很重要！）
那么我们在下一个知识点再见啦！拜拜！