自然语言处理中词嵌入降维方法-Random Fourier Feature

介绍

$RandomFourierFeatures(RFF)$是一种用于处理高维数据的技术，它通过将高维输入数据映射到低维的随机特征空间来加速核方法的计算。这种技术特别适用于处理大规模数据集和大规模特征空间的机器学习问题，如图像分类、语音识别、自然语言处理等。

在 $RFF$ 中，我们通过将原始数据映射到$Fourier$ 特征空间中来近似核函数。具体来说，我们将输入数据 x 映射到特征空间 $\phi (x)$，其中每个特征是：

$$\phi (x)=[cos({\omega }_1^{T}x+b_1),sin({\omega }_1^{T}x+b_1),...,cos({\omega }_D^{T}x+b_D),sin({\omega }_D^{T}x+b_D)]$$

其中，${\omega }_i$ 是随机选择的 $D$ 维向量，$b_i$ 是随机选择的偏移量，$D$ 是特征空间的维度。通过这种映射，我们可以将核函数表示为内积的形式，即：

$$k(x_i,x_j)\approx \phi (x_i{)}^T\phi (x_j)$$

这使得我们可以使用常规的线性算法来近似核函数，从而提高计算效率。同时，我们可以使用随机数生成器来生成这些随机特征。

代码

接下来，我们使用 $PyTorch$ 来实现 $RFF$。我们假设我们的输入数据是一个形状为 $(N,d)$ 的张量，其中 $N$ 是样本数，$d$ 是特征维度。我们可以使用以下代码生成随机特征：

import torch

def generate_rff_weights(d, D):
    omega = torch.randn(d, D)
    b = torch.rand(D) * 2 * math.pi
    return omega, b

这个函数返回两个张量：一个形状为 $(d,D)$ 的 $omega$ 张量和一个形状为 $(D,)$ 的 $b$ 张量。我们使用 torch.randn 函数生成一个均值为 0，方差为 1 的正态分布中的随机数来生成$omega$，使用 torch.rand 函数生成在 [0, 2π] 范围内的随机数来生成 b。

接下来，我们可以使用以下代码将输入数据映射到特征空间：

def rff(x, omega, b):
    x_omega = x @ omega
    x_omega_b = x_omega + b
    return torch.cat([torch.cos(x_omega_b), torch.sin(x_omega_b)], dim=-1)

这个函数接受一个形状为 $(N,d)$ 的输入张量 x，以及 $omega$ 和 $b$ 张量。我们首先将 $x$ 与 $omega$ 相乘，然后加上 $b$。最后，我们将结果与 cos 和 sin 的拼接在一起，并在最后一个维度上进行拼接。

完整的 RFF 代码如下：

import torch
import math

class RFF(torch.nn.Module):
    def __init__(self, d, D):
        super(RFF, self).__init__()
        self.d = d
        self.D = D
        self.omega, self.b = self.generate_weights()

    def generate_weights(self):
        omega = torch.randn(self.d, self.D)
        b = torch.rand(self.D) * 2 * math.pi
        return omega, b

    def forward(self, x):
        x_omega = x @ self.omega
        x_omega_b = x_omega + self.b
        return torch.cat([torch.cos(x_omega_b), torch.sin(x_omega_b)], dim=-1)

在这个代码中，我们定义了一个 RFF 类，它继承自 PyTorch 中的 nn.Module 类。在初始化函数中，我们接受 d 和 D 两个参数，其中 d 是输入数据的特征维度，D 是我们要映射到的特征空间的维度。然后，我们使用 generate_weights 函数生成 omega 和 b。在 forward 函数中，我们使用上面介绍的方法将输入数据 x 映射到特征空间。

测试

现在，我们可以使用这个 RFF 类来处理任何输入数据。例如，假设我们有一个形状为 (N, 10) 的随机输入张量：

x = torch.randn(100, 10)

我们可以使用以下代码将其映射到 1000 维的特征空间：

rff = RFF(d=10, D=1000)
rff_x = rff(x)

这里，我们创建了一个 $RFF$ 实例 $rff$，并将其应用于输入张量 $x$。输出张量 rff_x 的形状为 $(100,2000)$。

使用 $RandomFourierFeatures$ 技术可以显著提高核方法的计算效率和可扩展性。它特别适用于大规模机器学习问题，例如图像分类和自然语言处理。

小结

$RandomFourierFeatures$ 技术的高效性和可扩展性使得它成为现代机器学习中广泛使用的工具之一，尤其在处理高维数据和大规模数据集时。它可以在不显式计算核函数的情况下近似核方法，从而节省了计算时间和内存开销。

另外，需要注意的是，在使用 RFF 进行近似核方法时，我们需要注意调整 omega 和 b 的尺度以获得更好的性能。具体而言，omega 的尺度应该是 1/np.sqrt(d)，b 的尺度应该是在 0 和 2pi 之间随机选择。这样做可以确保 RFF 的样本复杂度为 O(D)，其中 D 是特征空间的维度。如果 omega 和 b 的尺度不正确，则可能需要使用更多的特征维度来获得相同的准确性，从而增加了计算时间和内存开销。