DFIG控制9： 搭建定子αβ坐标系下的电机模型

DFIG控制9： 搭建定子αβ坐标系下的电机模型。本文基于教程的第9部分（终于做完了）。主要目的是自己搭建一个DFIG的电机模型，与Simulink库中的模型做个对比。
本文基于教程的第9部分：
DFIM Tutorial 9 - Analytical Model of Doubly Fed Induction Generator for On-Line Simulation 主要目的是自己搭建一个DFIG的电机模型，与Simulink库中的模型做个对比。

教程使用的参考书：
G. Abad, J. Lopez, M. Rodriguez, L. Marroyo, and G. Iwanski, Doubly Fed Induction Machine: Modeling and Control for Wind Energy Generation. John Wiley & Sons, 2011.

需要搭建的模型的框图如下：

理论部分

使用 DFIG控制10： 双馈发电机的动态模型 中推导的定子静止αβ坐标系下的电压和磁链方程：

$$\{\begin{array}{ll}{u}_{s\alpha }& =R_s{i}_{s\alpha }+\frac{d}{dt}{\psi }_{s\alpha }\\ u_{s\beta }& =R_s{i}_{s\beta }+\frac{d}{dt}{\psi }_{s\beta }\\ u_{r\alpha }& =R_r{i}_{r\alpha }+\frac{d}{dt}{\psi }_{r\alpha }+{\omega }_r{\psi }_{r\beta }\\ u_{r\beta }& =R_r{i}_{r\beta }+\frac{d}{dt}{\psi }_{r\beta }-{\omega }_r{\psi }_{r\alpha }\end{array}$$
$$\{\begin{array}{ll}{\psi }_{s\alpha }& =(1.5L_m+L_{ls})i_{s\alpha }+1.5L_m{i}_{r\alpha }=L_s{i}_{s\alpha }+L_M{i}_{r\alpha }\\ {\psi }_{s\beta }& =(1.5L_m+L_{ls})i_{s\beta }+1.5L_m{i}_{r\beta }=L_s{i}_{s\beta }+L_M{i}_{r\beta }\\ {\psi }_{r\alpha }& =(1.5L_m+L_{lr})i_{r\alpha }+1.5L_m{i}_{s\alpha }=L_r{i}_{r\alpha }+L_M{i}_{s\alpha }\\ {\psi }_{r\beta }& =(1.5L_m+L_{lr})i_{r\beta }+1.5L_m{i}_{s\beta }=L_r{i}_{r\beta }+L_M{i}_{s\beta }\end{array}$$
这里有4个关于磁链的微分方程，加上转矩和转子机械角频率的关系，模型共有5个微分方程。
写成矩阵形式，再消去电流，如下：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{u}& =\mathbf{R}\mathbf{i}+\frac{d}{dt}\mathbf{\psi }+A\mathbf{\psi }\\ \mathbf{\psi }& =\mathbf{L}\mathbf{i}\\ \to \frac{d}{dt}\mathbf{\psi }& =-(\mathbf{R}{\mathbf{L}}^{-1}+\mathbf{A})\mathbf{\psi }+\mathbf{u}\end{array}$$

其中，
R = [ R s 0 0 0 0 R r 0 0 0 0 R r 0 0 0 0 R r ] L = [ L s 0 L M 0 0 L s 0 L M L M 0 L r 0 0 L M 0 L r ] A = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ω r 0 0 − ω r 0 ] \begin{align*} \boldsymbol{R}&= \left[\begin{matrix} R_{s} &0 &0 &0 \\ 0 & R_{r} &0 &0\\ 0 &0 &R_{r} &0\\ 0 &0 &0 &R_{r} \end{matrix}\right]\\ \boldsymbol{L}&= \left[\begin{matrix} L_{s} &0 &L_{M} &0 \\ 0 & L_{s} &0 &L_{M}\\ L_{M} &0 &L_{r} &0\\ 0 &L_{M} &0 &L_{r} \end{matrix}\right]\\ \boldsymbol{A}&= \left[\begin{matrix} 0 &0 &0 &0 \\ 0 & 0 &0 &0\\ 0 &0 &0 &\omega_{r}\\ 0 &0 &-\omega_{r} &0 \end{matrix}\right] \end{align*} RLA​= ​Rs​000​0Rr​00​00Rr​0​000Rr​​ ​= ​Ls​0LM​0​0Ls​0LM​​LM​0Lr​0​0LM​0Lr​​ ​= ​0000​0000​000−ωr​​00ωr​0​ ​​
并且令漏感系数为：
$$\sigma =1-\frac{L_M^2}{L_s{L}_r}$$

在MathCAD中计算 $-(\mathbf{R}{\mathbf{L}}^{-1}+\mathbf{A})$：

最终，用于仿真的模型为：
{ d d t [ ψ s α ψ s β ψ r α ψ r β ] = [ − R s σ L s 0 L M R s σ L r L s 0 0 − R s σ L s 0 L M R s σ L r L s L M R r σ L r L s 0 − R r σ L r − ω r 0 L M R r σ L r L s ω r − R r σ L r ] [ ψ s α ψ s β ψ r α ψ r β ] + [ u s α u s β u r α u r β ] J p d ω r d t = T e − T L \begin{cases} \frac{d}{dt} \left[\begin{matrix} \psi_{s\alpha} \\ \psi_{s\beta} \\ \psi_{r\alpha} \\ \psi_{r\beta} \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} \frac{-R_{s}}{\sigma L_{s}} & 0 & \frac{L_{M}R_{s}}{\sigma L_{r}L_{s}} & 0 \\ 0 & \frac{-R_{s}}{\sigma L_{s}} & 0 & \frac{L_{M}R_{s}}{\sigma L_{r}L_{s}} \\ \frac{L_{M}R_{r}}{\sigma L_{r}L_{s}} & 0 & \frac{-R_{r}}{\sigma L_{r}} & -\omega_{r} \\ 0 & \frac{L_{M}R_{r}}{\sigma L_{r}L_{s}} & \omega_{r} & \frac{-R_{r}}{\sigma L_{r}} \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \psi_{s\alpha} \\ \psi_{s\beta} \\ \psi_{r\alpha} \\ \psi_{r\beta} \end{matrix}\right] +\left[\begin{matrix} u_{s\alpha} \\ u_{s\beta} \\ u_{r\alpha} \\ u_{r\beta} \end{matrix}\right] \\ \frac{J}{p}\frac{d \omega_{r}}{dt}=T_{e}-T_{L} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​dtd​ ​ψsα​ψsβ​ψrα​ψrβ​​ ​= ​σLs​−Rs​​0σLr​Ls​LM​Rr​​0​0σLs​−Rs​​0σLr​Ls​LM​Rr​​​σLr​Ls​LM​Rs​​0σLr​−Rr​​ωr​​0σLr​Ls​LM​Rs​​−ωr​σLr​−Rr​​​ ​ ​ψsα​ψsβ​ψrα​ψrβ​​ ​+ ​usα​usβ​urα​urβ​​ ​pJ​dtdωr​​=Te​−TL​​
p为极对数，仿真中p=2。

电机仿真模型搭建

仿真中使用磁链来计算电磁转矩。
$$T_e=\frac{3}{2}p\frac{L_M}{\sigma L_s{L}_r}({\psi }_{s\beta }{\psi }_{r\alpha }-{\psi }_{s\alpha }{\psi }_{r\beta })$$
自己搭建仿真模型如下：

1. 因为是定子αβ坐标系下的模型，
   1. 需要对输入的定子电压做Clarke变换
   2. 对输入的转子电压，先做Clarke变换，再做坐标系旋转。
   3. 对输出的定子电流，做Clarke反变换，得到定子ABC电流
   4. 对输出的转子电流，先做坐标系旋转，再做Clarke反变换转子abc电流
2. 转子电压和Simulink模型使用相同的输入，都是，考虑了变压器的变比。
3. $\frac{d}{dt}\mathbf{\psi }$ 4个方程的计算，然后通过积分得到4个磁链的参数
4. 基于磁链值，计算电流和电磁转矩
5. 电磁转矩和机械转矩做差，然后积分，得到机械转速（上面模型的第5个方程）。再积分，得到转子的机械角度和电角度。

仿真对比

上方信号来自Simulink模型，下方带_m的信号来自刚才搭的模型。
自己搭的模型，输出的定子电流、转子电流、转矩，和Simulink模型基本相同。电网电压跌落期间的暂态波形也基本一致。但是放大后可以看到差异。

剩余问题（已解决）

1. 自己搭的模型，在跑较长时间以后（10s左右），输出会发散，波形就和Simulink的模型不一致了，（不知道教程里面的模型是不是也这样，感觉可能是我模型里面一些模块的设置问题）
   1. 更新：发现是因为，仿真中自建的模型相当于开环运行，控制系统使用的转子电流来自simulink的模型，然后变换器的输出同时加在两个模型上。所以自建模型在长时间开环运行后就容易发散。如果用两套控制系统分别控制两个模型，那么都可以长时间运行。

转子电流来自simulink的模型ir，自建模型发散。

转子电流来自教程9的模型ir_m：simulink的模型发散。

初始化代码

clear

% DFIG parameters -> Rotor parameters referred to the stator side
f = 50; % Stator frequency (Hz)
Ps = 2e6; % Rated stator power (W)
n = 1500; % Rated rotational speed (rev/min)
Vs = 690; % Rated stator voltage (V)
Is = 1760; % Rated stator current (A)
Tem = 12732; % Rated torque (N.m)

p=2; % Pole pair

u = 1/3; % Stator/rotor turns ratio
Vr = 2070;    % Rated rotor voltage (non-reached) (V) 
smax = 1/3;   % Maximum slip
Vr_stator = (Vr*smax) *u;    % Rated rotor voltage referred to stator (V)
Rs = 2.6e-3;    % Stator resistance(ohm)                
Lsi = 0.087e-3; %  Leakage inductance (stator & rotor) (H)                 
Lm = 2.5e-3; %  Magnetizing inductance (H)
Rr = 2.9e-3; % Rotor resistance referred to stator (ohm)
Ls = Lm + Lsi; % Stator inductance (H)
Lr = Lm + Lsi; % Rotor inductance (H)
% Vbus = Vr_stator*sqrt(2); % DC de bus voltge referred to stator (V)
Vbus = 1150; % as in tutorial 4

sigma = 1-Lm^2/(Ls*Lr);

Fs = Vs*sqrt(2/3)/(2*pi*f);  % Stator Flux (aprox.) (Wb)
J = 127; % Inertia, originally 127, reduced by 2 to make the response faster
D = 10e-3; %damping = 0. originally D = 1e-3;

fsw = 4e3; 
Ts =  1/fsw/50;

kT = -1.5*p*(Lm/Ls)*Fs; % kT, coef of output of the speed controller  

tau_i = (sigma*Lr)/Rr;
tau_n = 0.05; 
wni = 100*(1/tau_i);
wnn = 1/tau_n;

kp_id = (2*wni*sigma*Lr)-Rr;
kp_iq = kp_id;

ki_id = (wni^2)*Lr*sigma;
ki_iq = ki_id;

kp_n = (2*wnn*J)/p; %kp_n = (2*wnn*J)/p;
ki_n = (wnn^2)*J/p; %ki_n = (wnn^2)*J/p;


% Three blade wind turbine mode
N = 100; % Gearbox ratio
Radio= 42; % blade radius 
ro= 1.225; % Air density

% Cp and Ct curves
beta=0;  % Pitch angle
ind2=1;

for lambda=0.1:0.01:11.8
    lambdai(ind2)= (1./((1./(lambda-0.02.*beta) + (0.003./ (beta^3+1)))));
    Cp(ind2)=0.73*(151./lambdai(ind2) - 0.58*beta - 0.002.*beta^2.14-13.2).*(exp(-18.4./lambdai (ind2))); 
    Ct(ind2)=Cp(ind2)/lambda;
    ind2=ind2+1;
end

tab_lambda=[0.1:0.01:11.8];


% Kopt for MPPT
Cp_max = 0.44; 
lambda_opt = 7.2;
Kopt = ((0.5*ro*pi* (Radio^5) *Cp_max)/(lambda_opt^3));
% Power curve in fucntion of wind speed

P = 1.0e+06 *[0,0,0,0,0,0,0,0.0472,0.1097,0.1815,0.2568,0.3418, ...
            0.4437,0.5642, 0.7046, 0.8667,1.0518,1.2616, 1.4976, 1.7613,2.0534,...
            2.3513,2.4024,2.4024,2.4024, 2.4024,2.4024,2.4024];
V = [0.0000,0.5556,1.1111,1.6667,2.2222,2.7778,3.3333,3.8889, 4.4444,... 
    5.0000,5.5556,6.1111,6.6667,7.2222,7.7778,8.3333,8.8889,9.4444, ...
    10.0000,10.5556,11.1111, 11.6667,12.2222,12.7778,13.3333, 13.8889,...
    14.4444,15.0000];
% figure
% subplot(1,2,1)
% plot(tab_lambda, Ct, 'linewidth',1.5)
% xlabel('\lambda', 'fontsize',14)
% ylabel('Ct', 'fontsize',14)
% subplot(1,2,2)
% plot (V, P, 'linewidth', 1.5)
% grid
% xlabel('Wind speed (m/s)', 'fontsize',14)
% ylabel('Power (W)', 'fontsize',14)


% Grid side converter
Cbus = 80e-3; % DC bus capacitance
Rg = 20e-6; % Grid side filter's resisatance
Lg = 400e-6; % Grid side filter's inductance
Kpg = 1/(1.5*Vs*sqrt(2/3));
Kqg = -Kpg;

% PI regulators
tau_ig = Lg/Rg;
wnig = 60*2*pi;

kp_idg = (2*wnig*Lg)-Rg;
kp_iqg = kp_idg; 
ki_idg = (wnig^2)*Lg;
ki_iqg = ki_idg;

kp_v = -1000;
ki_v = -300000; %ki_v = -300000;


Rcrowbar = 0.2; % crowbar circuit resistance
Tcrowbar = 0.1; % crowbar duration 0.1s

t_dip= 3;
t_recover = 3.5;
t_normal = 4.17;
 
a11 = -Rs/(sigma*Ls);
a22 = a11;
a33 = -Rr/(sigma*Lr);
a44 = a33;
a13 = Rs*Lm/(sigma*Ls*Lr);
a24 = a13;
a31 = Rr*Lm/(sigma*Ls*Lr);
a42 = a31;
A = [a11, 0, a13, 0;
    0, a22, 0, a24;
    a31, 0, a33, 0;
    0, a42, 0, a44];

% A = [a11, 0, a13, 0;
%     0, a11, 0, a13;
%     a31, 0, a33, 0;
%     0, a31, 0, a33];