28正定矩阵

这一节进入正定矩阵的内容,什么叫做正定矩阵?为什么我们对矩阵正定这么感兴趣?

PS:这一节将前面所有的概念都融合在一起:主元、行列式、特征值、不稳定性

一、正定矩阵的判断方法

为了说明问题,我们先考虑二阶矩阵 A A A
A = [ a b b c ] A=\begin{bmatrix}a&b\\b&c\\\end{bmatrix} A=[abbc]

当这个矩阵满足以下条件之一,那么这个矩阵就是正定的:

  • 所有特征值都是正数
  • 所有主元都是正数
  • 所有左上↖行列式都是正数
  • 判断式大于零

PS:线性代数范围内,正定矩阵需要是对称矩阵。

例子:
[ 2 6 6 ? ] \begin{bmatrix}2&6\\6&?\end{bmatrix} [266?]

根据前面提到的内容,我们有四种判断正定性的方法:

  • 特征值判断法 λ 1 > 0 \lambda_1>0 λ1>0 λ 2 > 0 \lambda_2>0 λ2>0
  • 行列式判断法 a > 0 a>0 a>0 a c − b 2 > 0 ac-b^2>0 acb2>0
  • 主元判断法 a > 0 a>0 a>0 a c − b 2 a > 0 \frac{ac-b^2}{a}>0 aacb2>0
  • 判断式 x T A x > 0 x^TAx>0 xTAx>0

填入什么数字会使得其为正定矩阵?

  • 填入数字18,该矩阵行列式恰好为0,矩阵称为半正定;
  • 填入大于18的数字,矩阵行列式顺序主子式均为正数

OK!为什么正定对于我们线性代数非常重要?因为它与工程联系非常密切,切入点就是最后一个判断正定的条件 x T A x > 0 x^TAx>0 xTAx>0

对于半正定矩阵 A = [ 2 6 6 18 ] A=\begin{bmatrix}2&6\\6&18\end{bmatrix} A=[26618],我们写出其计算式 x T A x x^TAx xTAx
x T A x = [ x 1 x 2 ] [ 2 6 6 18 ] [ x 1 x 2 ] = 2 x 1 2 + 12 x 1 x 2 + 18 x 2 2 x^TAx=\begin{bmatrix}x_1&x_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&6\\6&18\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=2x_1^2+12x_1x_2+18x_2^2 xTAx=[x1x2][26618][x1x2]=2x12+12x1x2+18x22
对上述的式子进行配方:
z = a x 1 2 + 2 b x 1 x 2 + c x 2 2 = 2 x 1 2 + 12 x 1 x 2 + 18 x 2 2 = 2 ( x 1 + 3 x 2 ) 2 \begin{aligned} z&=ax_1^2+2bx_1x_2+cx_2^2\\ &=2x_1^2+12x_1x_2+18x_2^2=2(x_1+3x_2)^2 \end{aligned} z=ax12+2bx1x2+cx22=2x12+12x1x2+18x22=2(x1+3x2)2
我们知道 A x Ax Ax 是线性的,但是左乘了一个 x T x^T xT就变成了二阶的,这种形式称为二次型形式 (Quadratic From),它是“纯” 二次形式的,没有线性部分,常数项和3、4或者其他次方。给出正定矩阵的定义,对于任何 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2所有值都大于零。

无论 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2如何取值,对应的结果均大于零。如何研究这个曲线的形状,一种可行的方法就是截面法,通过固定其中的一个值,然后研究其形状,最后在将固定的值进行遍历就能大概知道这个曲线的形状了。

通过配方,固定 x 1 x_1 x1 可以看出 z = 2 ( x 0 + 3 x 2 ) 2 z=2(x_0+3x_2)^2 z=2(x0+3x2)2,它是一个抛物线且顶点坐标为:
x 2 = − 1 3 x 0 x_2=-\frac{1}{3}x_0 x2=31x0
从与 x x x 垂直的截面来看,它首先是一个抛物线,随着 x 1 x_1 x1 的增加,对称轴坐标 x 2 x_2 x2逐渐减少。从 X X X轴上截面看就好像一个不断平移的抛物线。同理,如果固定 x 2 x_2 x2 研究这个界面,也是一个不断平移的抛物面。
28正定矩阵_第1张图片

二、正定矩阵与空间曲线草图

考察一个对称矩阵:
A = [ 2 6 6 ? ] A=\begin{bmatrix}2&6\\6&?\end{bmatrix} A=[266?]
在问号中填入不同的数字,矩阵可能满足正定,也可能是非正定的,甚至有可能是半正定。现在的问题是,正定性与其对应的二次型曲线有什么关系?满足正定是怎么样得到?不满足的又是何种情况?

OK!假如问号中的数字是20,对称矩阵变成:
A = [ 2 6 6 20 ] A=\begin{bmatrix}2&6\\6&20\end{bmatrix} A=[26620]
对于二阶矩阵最简单的方式就是通过从左上到左下行列式,显然分别是2和4都是大于零的,所以矩阵 A A A 是正定的。因为我们需要研究的是对应二次型的空间曲线,所以先将其写成二次型:
x T A x = [ x 1 x 2 ] [ 2 6 6 20 ] [ x 1 x 2 ] = 2 x 1 2 + 12 x 1 x 2 + 20 x 2 2 x^TAx=\begin{bmatrix}x_1&x_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&6\\6&20\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=2x_1^2+12x_1x_2+20x_2^2 xTAx=[x1x2][26620][x1x2]=2x12+12x1x2+20x22
为了在直角坐标系中表示,将方程写成我们熟悉的形式:
z = 2 x 2 + 12 x y + 20 y 2 z=2x^2+12xy+20y^2 z=2x2+12xy+20y2
不妨从特殊点着手,首先方程过 ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) (0,0,0) 点、 ( 1 , 0 , 2 ) (1,0,2) (1,0,2)
28正定矩阵_第2张图片
用一个平行于 X O Y XOY XOY 且过原点平面去截取这个曲面:
z = 2 x 2 + 12 x y + 20 y 2 0 = x 0 x \begin{aligned} z&=2x^2+12xy+20y^2\\ 0&=x_0x \end{aligned} z0=2x2+12xy+20y2=x0x
联立上述式子,有:
z = 20 y 2 z=20y^2 z=20y2
28正定矩阵_第3张图片
再用 x − y = 0 x-y=0 xy=0 平面去截取这个曲面:
z = 2 x 2 + 12 x y + 20 y 2 x − y = 0 \begin{aligned} z&=2x^2+12xy+20y^2\\ x-y&=0 \end{aligned} zxy=2x2+12xy+20y2=0
联立得:
z = 34 y 2 z=34y^2 z=34y2
28正定矩阵_第4张图片
不过,现代软件可以很轻松帮你绘制这样的图形:
28正定矩阵_第5张图片
所谓正定,就是这个曲线所有的高度值都是大于零的。

再来看一个非正定的矩阵对应的二次曲线:
[ 2 6 6 2 ] \begin{bmatrix}2&6\\6&2\end{bmatrix} [2662]

28正定矩阵_第6张图片
有部分的值是负数,所以不是正定的。

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