【导数术】14.凹凸反转

14.凹凸反转

（1）核心原理

所谓凹凸反转，是将一个待证明的不等式转化为两个凹凸性相反的函数，证明凹函数的最小值都大于凸函数的最大值，从而完成原不等式的证明。

必须熟悉的函数：

函数	最值
$x\ln x$	最小值$-e^{-1}$
$x-\ln x$	最小值$1$
$x{e}^x$	最小值$-e$
$\frac{x}{e^x}$	最大值$e^{-1}$
$\frac{e^x}{x}$	最小值$e$

关于凹凸性的判断：

二阶导数	凹凸性与开口
$f^{\prime \prime }(x)\ge 0$	凹函数，开口向上
$f^{\prime \prime }(x)\le 0$	凸函数，开口向下

（2）练习

$Pra.14.1$

求证：$x>0$时，
$$\ln x>\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$$

• $Solution$：转化为：

$$x\ln x>\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$$

左侧：
$$(x\ln x{)}_{\min }=-\frac{1}{e},whenx=\frac{1}{e}$$
右侧：
$$(\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}{)}_{\max }=\frac{1}{e},whenx=1$$
而取等条件不同，于是原不等式得证。

$Pra.14.2$

设$x\in [1,2]$，求证：
$$x-\ln x+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}-\frac{2}{5}>0$$

• $Solution$：等价证明：

$$(x-\ln x{)}_{\min }>(\frac{2}{x^3}-\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x}+\frac{5}{2}{)}_{\max }$$

左侧最小值为$1$，右侧换元法转化为三次函数，证明最大值为$1$即可。

$Pra.14.3$

设$x>0$，求证：
$$(x^2+x)\frac{\frac{1}{x}-\ln x-1}{e^x}<1+e^{-2}$$

• $Solution$：同除以$(x+1)$转化为：

$$1-x\ln x+x<(1+e^{-2})\frac{e^x}{x+1}$$

有：$(1-x\ln x+x{)}_{\max }=1+e^{-2}$，

而$e^x>x+1(x>0)$，所以右侧必然$>(1+e^{-2})$

证毕。