程序员数学 —— 二进制

前言

常年浪迹与各种高级语言的我们，是否还记得哪些基础中的基础呢？
今天就让我们一起来回忆一下计算机的那一串 0101010101 —— 二进制 吧！

通过本文，你将了解到以下几点：

1. 什么是进制，以及 进制之间 的转换
2. 计算机为什么要用二进制
3. 了解位运算，以及 逻辑运算 和 算术运算的 区别

什么是进制？

十进制

• 十进制 是以 0-9 为基础数字系统, 是在世界上应用最广泛的进位制。
  具有以下几个特点：

  1. 高位在左，地位在右

  2. 每个位上只有 0-9 十个数字

  3. 高位的 1 代表低一位的 10,即：
     第0位表示

     第一位表示 基本的

     第二位表示 基本的

• 十进制数字 123 可以这么来表示
  
  其中 任何非 0 的数的 0 次方都是 1. 至于这个写法就不多解释了,相信你一看就懂....

平时生活中我们的计算基本都是基于 十进制，比如 1+2=3 ,5+6=11
有时候我们不禁也会想一下：为什么 1+2 会等于 3 呢？
那么我们可以想想，你吃了一个苹果，又吃了两个，那么你一共吃了几个？
所以，其实算术没那么多弯弯道道，都是源于真真实实的生活。

二进制

看完十进制，那么二进制其实就很好类比了.....

• 二进制 是以 0-1 为基础数字系统,是计算机应用的进位制。
  具有以下几个特点：

  1. 高位在左，地位在右

  2. 每个位上只有 0-1 二个数字

  3. 高位的 1 代表低一位的 2,即：
     第0位表示

     第一位表示 基本的

     第二位表示 基本的

• 二进制数字 101 可以这么来表示
  
  其中 任何非 0 的数的 0 次方都是 1.
  我们可以看到,101 的 十进制 就是: 5

• 通过上面的，我们应该很容易就可以将 任意进制的数字 转换成 十进制的 数字了。

关于十进制转其他进制....使用计算机其实是很好弄的，不过如果你想具体去了解怎么自己算，那么还是去自己找点资料吧，当然，也许后面我们可以来讨论下

为什么计算机要用二进制？

这里我大概列举我知道的几点

1. 简单，二进制只有 0 和 1 两种状态，可以使得计算机的运算变的非常简单，
   并且能满足电路的一开一关。
2. 适合位运算，针对位运算比平时的运算具有更高的效率
3. 具有比较好的容错 和 抗干扰能力，多进制会导致状态增加，使得计算机识别状态的时候更加不容易控制。

这里肯定还有很多其他的原因，限于本人知识有限，
如果你想详细了解这块，还是自己去找找相关的资料看看比较靠谱

位运算

接下来我们就来重点说一下二进制的位运算。

• 向左移位
  定义：用来将一个数的各二进制位全部左移若干位，其右边空出的位用0填补，高位左移溢出则舍弃该高位。

  以下是 2 向左移位 1,2,3 的结果：

  scala> 2 << 1
  res1: Int = 4
  
  scala> 2 << 2
  res2: Int = 8
  
  scala> 2 << 3
  res3: Int = 16
  

  我们可以发现：
  向左移 1 位： 4 = 2 * 2^1
  向左移 2 位： 8 = 2 * 2^2
  向左移 3 位： 16 = 2 * 2^3
  大概我们可以得出结论：向左每移动一位，那么就等于 该数 乘以 2 的（移动的位数）次方
  ，那么怎么证明呢？

  1. 2 的 二进制是 10
  2. 向左移 1 位: 那个 10 就会变成 100 ，从十进制来看，即：
     
     转变成了
     
     而
     这样我们也就知道为什么 向左每移动一位，那么就等于 该数 乘以 2 的（移动的位数）次方 了.

• 向右移位
  在我们看了向左移位之后，那么其实向右也就很简单了。

scala> 16 >> 1
res18: Int = 8

scala> 16 >> 2
res19: Int = 4

scala> 16 >> 3
res20: Int = 2

可以看出来，每移动一位就等于 该数 除以 2的(移动位数) 次方，当然这里结果是要求整数的

然后你以为移位就是这么简单么？当然不....
不知道你是否还记得,如果一个值是负数，他是怎么表示的，如果你不记得了，
那么你至少应该记得，在有符号的数字中，二进制的第一位一般都是符号位的。
那么我可以来试试：

scala> -16 >> 3
res21: Int = -2

恩？看起来好像没有问题啊，这个不就是我们期望的么？
确实，看起来确实是我们期望的。但是如果让你现在给这个右移一个定义，那么你该怎么给呢？

如果类比向左位移,那么应该是这样：用来将一个数的各二进制位全部右移若干位，其右边空出的位用0填补，舍弃低位。

那么你是否已经发现问题呢？这个定义好像和我们认知的会有点不一样，如果用 0 填，那么应该会变成正数才对。所以其实右移并不是我们简单的想象的那样，

恩 ，不卖关子了，我们直接说吧....

右移如果是没有符号位，那就没什么好说的了，
如果有符号位，那么右移就会有点不一样，所以右移我们可以分为：

1. 逻辑右移：
   用来将一个数的各二进制位全部右移若干位，其右边空出的位用0填补，舍弃低位。
2. 算术右移
   用来将一个数的除符号位外的各二进制位全部右移若干位，并在符号位之后用符号位 1 填补，舍弃低位。

这样就很清楚了，所以我们可以看到 我们使用的 -16 >> 3 是属于 算术右移 的。
那么逻辑右移是怎么样的呢？

scala> -16 >>> 3
res22: Int = 536870910

所以说 逻辑右移 是>>>, 一个负数直接就被我们移成了一个正数

这里也可以考虑下为什么没有 逻辑左移，这里本人也没有找到标准答案，不过猜测应该是，
逻辑右移，在做左边是要考虑补位的是 1 还是 0，不能使符号发生转变。
而左移不需要，只需要在右边补0，不需要考虑符号转变，或者说在不溢出的情况下，其符号是不会变的。

• 位运算
  将两个二进制数字各个位上的数字进行运算即：位运算，一般可以分为以下几种：

  • 与
    参与操作的所有位中都必须是 1，其运算的结果才是 1，否则是 0；
    计算操作符一般是 &

    scala> 4 & 2 & 1
    res24: Int = 0
    

    其中 4 的 二进制是 ： 100
    其中 2 的 二进制是 ： 10
    其中 1 的 二进制是 ： 1

  • 或
    参与操作的所有位中如果有一个是 1，其运算的结果就是 1，否则是 0；
    计算操作符一般是 |

  ```
  scala> 4 | 2 | 1
  res25: Int = 7
  ```
  

  • 异或
    参与操作的所有位中不能相同，其运算的结果才是 1，否则是 0；
    计算操作符一般是 ^

  ```
  scala> 4 ^ 2 ^ 1
  res25: Int = 7
  ```
  

  这里的计算都是从左向右进行的，和平时的算术运算没什么两样噢！
  不过这里需要注意的是....在计算机的运算中，一定要考虑溢出！！！
  往往当数据溢出的时候，其产生的问题一般会非常严重，并且某些情况下不太那么容易查