高等数学笔记(下下)

无穷级数

定义

一般的,如果给定一个数列 u 1 , u 2 , u 3 , . . . u n , . . . , u_1, u_2, u_3, ... u_n, ... , u1,u2,u3,...un,...,,那么由这个梳理构成的表达式 u 1 + u 2 + u 3 + . . . + u n + . . . u_1+u_2+u_3+...+u_n+... u1+u2+u3+...+un+...叫做(常数项)无穷级数,简称(常数项)级数,记作 ∑ i = 1 ∞ u i \sum\limits_{i=1}^{\infin}u_i i=1ui,其中第n项叫做级数的一般项。取前n项求和,得到 s n = ∑ i = 1 n u n s_n=\sum\limits_{i=1}^nu_n sn=i=1nun,叫做级数的部分和。
如果级数 ∑ i = 1 ∞ u i \sum\limits_{i=1}^{\infin}u_i i=1ui的部分和数列 { s n } \{s_n\} {sn}有极限 s s s,称无穷级数 ∑ i = 1 ∞ u i \sum\limits_{i=1}^{\infin}u_i i=1ui收敛,这时s叫做级数的和。如果 { s n } \{s_n\} {sn}不收敛,则称无穷级数 ∑ i = 1 ∞ u i \sum\limits_{i=1}^{\infin}u_i i=1ui发散。
当级数收敛时 r n = s − s n r_n=s-s_n rn=ssn叫做级数的余项。

性质

  1. 性质1:如果级数 ∑ i = 1 ∞ u i \sum\limits_{i=1}^{\infin}u_i i=1ui收敛于和s,那么级数 ∑ i = 1 ∞ k u i \sum\limits_{i=1}^{\infin}ku_i i=1kui收敛于 k s ks ks.
    证明:设 ∑ i = 1 ∞ u i \sum\limits_{i=1}^{\infin}u_i i=1ui ∑ i = 1 ∞ k u i \sum\limits_{i=1}^{\infin}ku_i i=1kui的部分和分别是 s n s_n sn σ n \sigma_n σn,根据定义,有 lim ⁡ n → ∞ s n = s \lim\limits_{n\to\infin}s_n=s nlimsn=s σ n = k u 1 + k u 2 + . . . . = k ( u 1 + u 2 + . . . ) = k s n \sigma_n=ku_1+k_u2+....=k(u_1+u_2+...)=ks_n σn=ku1+ku2+....=k(u1+u2+...)=ksn ∴ lim ⁡ n → ∞ ∑ i = 1 ∞ k u i = k s \therefore \lim\limits_{n\to\infin}\sum\limits_{i=1}^{\infin}ku_i=ks nlimi=1kui=ks
    推论:级数的每一项乘以一个不为零的常数(可以不同)之后,级数的收敛性不变。(证明可以通过定义和夹逼定理,取常数中的最大值和最小值进行逼近)。
  2. 性质2:如果级数 ∑ i = 1 ∞ u i \sum\limits_{i=1}^{\infin}u_i i=1ui ∑ i = 1 ∞ v i \sum\limits_{i=1}^{\infin}v_i i=1vi分别收敛于 s s s σ \sigma σ,则级数 ∑ i = 1 ∞ ( u i ± v i ) \sum\limits_{i=1}^{\infin}(u_i\pm v_i) i=1(ui±vi)收敛于 s ± σ s\pm\sigma s±σ. 根据定义,结合极限的性质,容易证明。
  3. 性质3:在级数中增加、减少或者改变有限项,不会改变级数的收敛性。
  4. 性质4:如果级数收敛,那么对这个级数的任意项加括号之后组成的新级数,仍然收敛,且其和不变。(加括号之后收敛,之前不一定收敛,比如(1±1),(1±1))
  5. 性质5:级数收敛的必要条件:如果级数 ∑ i = n ∞ u n \sum\limits_{i=n}^{\infin}u_n i=nun收敛,那么它的一般项 u n u_n un趋于0.
    证明:设级数的部分和为 s n s_n sn,则 lim ⁡ n → ∞ s n = s \lim\limits_{n\to\infin}s_n=s nlimsn=s, lim ⁡ n → ∞ u n = lim ⁡ n → ∞ s n − lim ⁡ n → ∞ s n − 1 = s − s = 0 \lim\limits_{n\to\infin}u_n=\lim\limits_{n\to\infin}s_n-\lim\limits_{n\to\infin}s_{n-1}=s-s=0 nlimun=nlimsnnlimsn1=ss=0

问题:讨论级数 ∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ n α \sum\limits_{n=1}^{\infin}u_n=\sum\limits_{n=1}^{\infin}n^\alpha n=1un=n=1nα何时收敛。
α ≥ 0 \alpha\ge0 α0 u n > 1 u_n>1 un>1,此时,部分和 s n s_n sn发散,此时级数必然发散。
α < − 1 \alpha<-1 α<1 ∣ u n + 1 + u n + 2 + . . . u n + p ∣ = ∣ ( n + 1 ) α + ( n + 2 ) α + . . . + ( n + p ) α ∣ < ∣ p ( n + 1 ) α ∣ |u_{n+1}+u_{n+2}+...u_{n+p}|=|(n+1)^\alpha+(n+2)^\alpha+...+(n+p)^\alpha|<|p(n+1)^\alpha| un+1+un+2+...un+p=(n+1)α+(n+2)α+...+(n+p)α<p(n+1)α,根据柯西审敛定理,对于任意小的正数 ϵ \epsilon ϵ,都有 ∣ p ( n + 1 ) α ∣ < ϵ |p(n+1)^\alpha|<\epsilon p(n+1)α<ϵ,只需要 n > ( ϵ p ) 1 α − 1 n>(\frac{\epsilon}{p})^\frac{1}{\alpha}-1 n>(pϵ)α11
α = − 1 时 \alpha=-1时 α=1,级数发散;
α ∈ ( − 1 , 0 ) \alpha \in(-1,0) α(1,0),其每一项都比 α = − 1 \alpha=-1 α=1时要大,故发散。

  1. 柯西审敛定理
    级数 ∑ i = 1 ∞ u i \sum\limits_{i=1}^{\infin}u_i i=1ui收敛的充分必要条件是对于任意给定的正整数 ϵ \epsilon ϵ,总存在正整数N,使得当 n > N n>N n>N时,对于任意正整数p都有
    ∣ ∑ i = 1 p u n + i ∣ < ϵ |\sum_{i=1}^pu_{n+i}|<\epsilon i=1pun+i<ϵ

正项级数审敛法

  1. 定理1:正项级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum\limits_{n=1}^{\infin}u_n n=1un收敛的充分必要条件是,它的部分和数列{s_n}有界。注意是正项级数。
  2. 定理2:比较审敛法:
    设级数 ∑ i = n ∞ u n \sum\limits_{i=n}^{\infin}u_n i=nun ∑ i = n ∞ v n \sum\limits_{i=n}^{\infin}v_n i=nvn都是正项级数,且 u n ≤ v n ( n = 1 , 2 , . . . ) u_n\le v_n(n=1, 2,...) unvn(n=1,2,...),若级数 ∑ i = n ∞ v n \sum\limits_{i=n}^{\infin}v_n i=nvn收敛,则级数 ∑ i = n ∞ u n \sum\limits_{i=n}^{\infin}u_n i=nun也收敛;若 ∑ i = n ∞ u n \sum\limits_{i=n}^{\infin}u_n i=nun发散,则 ∑ i = n ∞ v n \sum\limits_{i=n}^{\infin}v_n i=nvn也发散。
  3. 定理3:比较审敛法的极限形式
    设级数 ∑ i = n ∞ u n \sum\limits_{i=n}^{\infin}u_n i=nun ∑ i = n ∞ v n \sum\limits_{i=n}^{\infin}v_n i=nvn都是正项级数,
    (1)如果 lim ⁡ n → ∞ u n v n = l ( 0 ≤ l < + ∞ ) \lim\limits_{n\to\infin}\frac{u_n}{v_n}=l(0\le l<+\infin) nlimvnun=l(0l<+),且级数 ∑ i = n ∞ v n \sum\limits_{i=n}^{\infin}v_n i=nvn收敛,那么级数 ∑ i = n ∞ u n \sum\limits_{i=n}^{\infin}u_n i=nun也收敛;
    (2)如果 lim ⁡ n → ∞ u n v n = l ( l > 0 ) \lim\limits_{n\to\infin}\frac{u_n}{v_n}=l(l>0) nlimvnun=l(l>0),且级数 ∑ i = n ∞ v n \sum\limits_{i=n}^{\infin}v_n i=nvn发散,那么级数 ∑ i = n ∞ u n \sum\limits_{i=n}^{\infin}u_n i=nun也发散;
    这个定理的一个直观理解是,如果对于级数的每一项, u n u_n un v n v_n vn是同阶或者更高阶,无穷小。 ∑ i = n ∞ v n 收敛    ⟹    ∑ i = n ∞ u n 收敛 \sum\limits_{i=n}^{\infin}v_n收敛\implies \sum\limits_{i=n}^{\infin}u_n收敛 i=nvn收敛i=nun收敛
  4. 定理4:比值审敛法,达朗贝尔判别法:设级数 ∑ i = n ∞ u n \sum\limits_{i=n}^{\infin}u_n i=nun是正项级数,如果
    lim ⁡ n → ∞ u n u n − 1 = ρ \lim\limits_{n\to\infin}\frac{u_n}{u_{n-1}}=\rho nlimun1un=ρ,当 ρ < 1 \rho<1 ρ<1时,级数收敛;当 ρ > 1 \rho>1 ρ>1时,级数发散;当 ρ = 1 \rho=1 ρ=1时,级数可能收敛也可能发散;
    这个定理的一个直观理解,如果当 n → ∞ n\to\infin n时, u n u_n un趋于等比数列,则其收敛性和等比数列类似。
  5. 定理5:根式审敛法,柯西判别法
    设级数 ∑ i = n ∞ u n \sum\limits_{i=n}^{\infin}u_n i=nun为正项级数,如果 lim ⁡ n → ∞ u n n = ρ \lim\limits_{n\to\infin}\sqrt[n]{u_n}=\rho nlimnun =ρ,当 ρ < 1 \rho<1 ρ<1时,级数收敛;当 ρ > 1 \rho>1 ρ>1时,级数发散;当 ρ = 1 \rho=1 ρ=1时,级数可能收敛也可能发散;
    证明:因为 lim ⁡ n → ∞ u n n = ρ \lim\limits_{n\to\infin}\sqrt[n]{u_n}=\rho nlimnun =ρ,设当n>N时,对于任意n都有 u n n < ρ + ϵ < 1 \sqrt[n]{u_n}<\rho+\epsilon<1 nun <ρ+ϵ<1,所以,当n>N时,总有 u n < ( ρ + ϵ ) n u_n<(\rho+\epsilon)^n un<(ρ+ϵ)n,后者是个公比为 ρ + ϵ \rho+\epsilon ρ+ϵ的等比数列,公比小于1,根据比较审敛法,级数 ∑ i = n ∞ u n \sum\limits_{i=n}^{\infin}u_n i=nun收敛。
  6. 定理6:极限审敛法:
    若级数 ∑ i = n ∞ u n \sum\limits_{i=n}^{\infin}u_n i=nun为正项级数,
    (1)若 lim ⁡ n → ∞ n u n = l ( l > 0 ) \lim\limits_{n\to\infin}nu_n=l(l>0) nlimnun=l(l>0),则级数 ∑ i = n ∞ u n \sum\limits_{i=n}^{\infin}u_n i=nun发散;
    (2)若 lim ⁡ n → ∞ n p u n = l ( l ∈ [ 0 , ∞ ) , p > 1 ) \lim\limits_{n\to\infin}n^pu_n=l(l\in[0,\infin), p>1) nlimnpun=l(l[0,),p>1),则级数 ∑ i = n ∞ u n \sum\limits_{i=n}^{\infin}u_n i=nun收敛;
    说明 u n u_n un 1 n p \frac{1}{n^p} np1的同阶无穷小,具有相同的收敛性;

交错级数审敛法

交错级数:各项是正负相间的。

  1. 定理7:莱布尼茨定理
    若交错级数 ∑ i = n ∞ ( − 1 ) n − 1 u n \sum\limits_{i=n}^{\infin}(-1)^{n-1}u_n i=n(1)n1un满足条件
    (1) u n ≥ u n + 1 ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) u_n\ge u{n+1} (n=1,2,3,...) unun+1(n=1,2,3,...)
    (2) lim ⁡ n → ∞ u n = 0 \lim\limits_{n\to\infin}u_n=0 nlimun=0
    那么级数收敛,且其和小于 s n ≤ u 1 s_n\le u_1 snu1,余项 ∣ r n ∣ ≤ u n + 1 |r_n|\le u_{n+1} rnun+1
    绝对收敛与条件收敛:
    若级数 ∑ i = n ∞ u n \sum\limits_{i=n}^{\infin}u_n i=nun各项绝对值构成的级数 ∑ i = n ∞ ∣ u n ∣ \sum\limits_{i=n}^{\infin}|u_n| i=nun收敛,则成为绝对收敛, ∑ i = n ∞ u n \sum\limits_{i=n}^{\infin}u_n i=nun收敛而 ∑ i = n ∞ ∣ u n ∣ \sum\limits_{i=n}^{\infin}|u_n| i=nun不收敛,称为条件收敛。
  2. 定理10:绝对收敛级数的乘法:
    设级数 ∑ i = n ∞ u n \sum\limits_{i=n}^{\infin}u_n i=nun ∑ i = n ∞ v n \sum\limits_{i=n}^{\infin}v_n i=nvn都绝对收敛,其和分别为 s s s σ \sigma σ,则他们的柯西乘积 u 1 v 1 + ( u 1 v 2 + u 2 v 1 ) + . . . ∑ i = 1 n u 1 v n − 1 + . . . u_1v_1+(u_1v_2+u_2v_1)+...\sum\limits_{i=1}^{n}u_1v_{n-1}+... u1v1+(u1v2+u2v1)+...i=1nu1vn1+...也绝对收敛,其和为 s σ s\sigma sσ.

幂级数

如果给定一个在区间I上的函数列, u 1 ( x ) , u 2 ( x ) , . . . , u n ( x ) , . . . u_1(x), u_2(x), ... , u_n(x), ... u1(x),u2(x),...,un(x),...,那么由这个函数列构成的表达式 f ( x ) = u 1 ( x ) + u 2 ( x ) + . . . + u n ( x ) + . . . f(x)=u_1(x)+u_2(x)+... +u_n(x)+... f(x)=u1(x)+u2(x)+...+un(x)+...,称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数,简称(函数项)级数。对于每个确定的值 x 0 ∈ I x_0\in I x0I,级数 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)可能收敛也可能发散,如果收敛,就称 x 0 x_0 x0是级数的收敛点,否则称为发散点,收敛点的全体称为收敛域,发散点的全体,称为发散域。对于收敛域内的一点x,函数项级数称为一个收敛的常数项级数,因而有一组确定的和s,这样在收敛域上,函数项级数的和是x的函数 s ( x ) s(x) s(x),通常称为函数项级数的和函数。

幂级数及其收敛性

幂级数:函数项级数中常见的一类是每一项都是常数和幂函数相乘的形式,即所谓幂级数,它的形式是
∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . . \sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n+... n=0anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...

  1. 定理1:阿贝尔定理:
    如果级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum\limits_{n=0}^{\infin}a_nx^n n=0anxn x 0 ( x 0 ≠ 0 ) x_0(x_0\ne0) x0(x0=0)收敛,则对于所有 ∣ x ∣ < ∣ x 0 ∣ |x|<|x_0| x<x0的所有点,都收敛。反之,如果级数在 x 0 x_0 x0处发散,对于所有 ∣ x ∣ > ∣ x 0 ∣ |x|>|x_0| x>x0,级数都发散。
  2. 定理2:如果 lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ = ρ \lim\limits_{n\to\infin}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho nlim anan+1 =ρ其中 a n , a n + 1 a_{n}, a_{n+1} an,an+1是相邻两项的系数,则级数收敛域:
    R = { 1 ρ    ρ ≠ 0 + ∞ ρ = 0 0 ρ = + ∞ R= \begin{cases} \begin{aligned} &\frac{1}{\rho} \space\space&\rho\ne0\\ &+\infin&\rho=0\\ &0&\rho=+\infin\\ \end{aligned} \end{cases} R= ρ1  +0ρ=0ρ=0ρ=+
    问题:在收敛域内的意义是明确的,可以使用无穷级数来逼近和函数。如果不在收敛域内,则完全不能逼近?如果是个低阶无穷大,有意义吗?

幂级数运算的性质

幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum\limits_{n=0}^{\infin}a_nx^n n=0anxn ∑ n = 0 ∞ b n x n \sum\limits_{n=0}^{\infin}b_nx^n n=0bnxn分别在区间 ( − R , R ) (-R,R) (R,R) ( − R ′ , R ′ ) (-R',R') (R,R)上收敛,则二者加和、差、柯西乘积都收敛,收敛域取两者较小的集合。但是两者相除可能会比原来的收敛域小的多。

  1. 性质1:幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum\limits_{n=0}^{\infin}a_nx^n n=0anxn在其收敛域I上连续。
  2. 性质2: 幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum\limits_{n=0}^{\infin}a_nx^n n=0anxn在其收敛域I上可积,并有逐项积分公式:
    ∫ 0 x s ( t ) d t = ∫ 0 x [ ∑ 0 ∞ a n t n ] d t = ∑ 0 ∞ ∫ 0 x a n t n d t = ∑ 0 ∞ a n n + 1 x n + 1   ( x ∈ I ) \begin{aligned} \int_0^xs(t)dt&=\int_0^x[\sum_0^\infin a_nt^n]dt\\ &=\sum_0^\infin\int_0^xa_nt^ndt\\ &=\sum_0^\infin\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\space(x\in I) \end{aligned} 0xs(t)dt=0x[0antn]dt=00xantndt=0n+1anxn+1 (xI)
    逐项积分后所得幂级数和原级数具有相同的收敛半径。
  3. 性质3:幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum\limits_{n=0}^{\infin}a_nx^n n=0anxn在其收敛区间 ( − R , R ) (-R,R) (R,R)逐项可导,且有逐项求导公式,
    s ′ ( x ) = ( ∑ n = 0 ∞ a n x n ) ′ = ∑ n = 0 ∞ n a n x n − 1 ( ∣ x ∣ < R ) s'(x)=\left(\sum_{n=0}^\infin a_nx^n\right)'=\sum_{n=0}^\infin na_nx^{n-1}(|x|s(x)=(n=0anxn)=n=0nanxn1(x<R)
  4. 看性质2和性质3,常数项里不是多了个n吗?(一个是1/(n+1),一个n)为什么还会说收敛半径不变呢?参照定理2,看逐项积分的情况。逐项积分后的级数为 ∑ n = 0 ∞ n a n x n − 1 \sum\limits_{n=0}^\infin na_nx^{n-1} n=0nanxn1,其常数项 b n = a n n + 1 b_n=\frac{a_n}{n+1} bn=n+1an lim ⁡ n → ∞ ∣ b n + 1 b n ∣ = lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 a n ⋅ n n + 1 ∣ = lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ = ρ \lim\limits_{n\to\infin}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infin}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot\frac{n}{n+1}\right|=\lim\limits_{n\to\infin}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho nlim bnbn+1 =nlim anan+1n+1n =nlim anan+1 =ρ故两者具有相同的收敛半径。
    常数项级数如果单项乘以n或者除以n就有可能会导致收敛性改变,为什么函数项级数不会有这个问题?例如对于常数项级数 ∑ n ∞ u n = ∑ n ∞ 1 n 2 \sum\limits_{n}^\infin u_n=\sum\limits_{n}^\infin\frac1{n^2} nun=nn21是收敛的,但是 ∑ n ∞ u n n = ∑ n ∞ 1 n \sum\limits_{n}^\infin u_nn=\sum\limits_{n}^\infin\frac 1{n} nunn=nn1发散,但是 ∑ n ∞ u n ( x ) = ∑ n ∞ x n 2 \sum\limits_{n}^\infin u_n(x)=\sum\limits_{n}^\infin\frac x{n^2} nun(x)=nn2x收敛域是 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [1,1] ∑ n ∞ u n ( x ) n = ∑ n ∞ n x n 2 \sum\limits_{n}^\infin u_n(x)n=\sum\limits_{n}^\infin\frac {nx}{n^2} nun(x)n=nn2nx收敛域是[-1,1),收敛半径看似没变,只是少了一个收敛点。乘以多项式是不会改变收敛半径的,增加什么样的n的变量会改变x的收敛半径呢?也容易看到,比如 a n a^n an,会把收敛域变成原来的 1 / a 1/a 1/a.

函数展开成幂级数

假设 f ( x ) f(x) f(x)能展开成如下幂级数形式
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) = a 0 + a 1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) 2 + . . . + . . . f(x)=\sum_{n=0}^\infin a_n(x-x_0)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+...+... f(x)=n=0an(xx0)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+...+...
则有 f ( x ) f(x) f(x) U ( x 0 ) U(x_0) U(x0)内具有任意阶导数,且
f ( n ) ( x ) = n ! a n + ∑ k = n + 1 ∞ k ! ( k − n ) ! a k ( x − x 0 ) k − n f^{(n)}(x)=n!a_n+\sum_{k=n+1}^\infin\frac{k!}{(k-n)!}a_k(x-x_0)^{k-n} f(n)(x)=n!an+k=n+1(kn)!k!ak(xx0)kn
x = x 0 x=x_0 x=x0处,后面的求和项为0, 故 a n = f ( n ) ( x 0 ) n ! a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} an=n!f(n)(x0)
这叫做函数 f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0处的泰勒级数。

傅里叶级数

如何研究非正弦周期函数呢?,可以将周期为 T = 2 π / ω T=2\pi/\omega T=2π/ω的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数来表示,记作
f ( t ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n s i n ( n ω t + φ n ) f(t)=A_0+\sum_{n=1}^\infin A_n sin(n\omega t+\varphi_n) f(t)=A0+n=1Ansin(t+φn)
可以再做变形得到,
f ( t ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n s i n ( n ω t ) c o s φ + A n c o s ( n ω t ) s i n φ f(t)=A_0+\sum_{n=1}^\infin A_n sin(n\omega t)cos\varphi+A_n cos(n\omega t)sin\varphi f(t)=A0+n=1Ansin(t)cosφ+Ancos(t)sinφ
进行变量替换
a 0 2 = A 0 , a n = A n s i n φ , b n = A n c o s φ , 2 π 2 l = ω ( T = 2 l ) \frac{a_0}{2}=A_0, a_n=A_nsin\varphi, b_n=A_ncos\varphi, \frac{2\pi}{2l}=\omega(T=2l) 2a0=A0,an=Ansinφ,bn=Ancosφ,2l2π=ω(T=2l)
得到
f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s ( n π t l ) + b n s i n ( n π t l ) f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infin a_n cos(\frac{n\pi t}{l})+b_n sin(\frac{n\pi t}{l}) f(t)=2a0+n=1ancos(lt)+bnsin(lt)

x = π t l x=\frac{\pi t}{l} x=lπt
这样就把以2l为周期的函数变换成了以 2 π 2\pi 2π为周期的函数,研究起来方便。当然,研究 2 l 2l 2l为周期的函数也是没有问题的。

  1. 三角函数的正交性:三角函数系在 [ − l , l ] [-l, l] [l,l]上正交(即任意两个不同三角函数乘积的积分为0),其中 2 l ( l = π / ω ) 2l(l=\pi/\omega) 2l(l=π/ω)是基波周期。
    1 , s i n ω x , c o s k ω x . . . . 1, sin\omega x,cosk\omega x.... 1,sinωx,cosx....
    举个例子:
    s = ∫ − l l sin ⁡ p ω t sin ⁡ q ω t d t = ∫ − l l cos ⁡ ( p − q ) ω t − sin ⁡ ( p + q ) ω t d t 若 p ≠ q ,则有 s = 1 ( p − q ) ω sin ⁡ ( p − q ) ω t ∣ − l l + 1 ( p + q ) ω cos ⁡ ( p + q ) ω t ∣ − l l = 0 若 p = q ,则有 s = ∫ − l l d t = 2 l \begin{aligned} &s=\int_{-l}^l \sin p\omega t\sin q\omega t dt\\ =&\int_{-l}^l \cos (p-q)\omega t-\sin(p+q)\omega t dt \\ \end{aligned}\\ 若p\ne q,则有\\ s = \left.\frac{1}{(p-q)\omega}\sin (p-q)\omega t \right|_{-l}^{l} +\left.\frac{1}{(p+q)\omega}\cos (p+q)\omega t \right|_{-l}^{l} = 0 若p=q,则有\\ s = \int_{-l}^ldt=2l =s=llsinpωtsinqωtdtllcos(pq)ωtsin(p+q)ωtdtp=q,则有s=(pq)ω1sin(pq)ωt ll+(p+q)ω1cos(p+q)ωt ll=0p=q,则有s=lldt=2l
  2. 函数展开成傅里叶级数
    f ( x ) f(x) f(x)是以 2 π 2\pi 2π为周期的函数,且能展开成三角函数
    f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infin a_n\cos n x+b_n \sin nx f(x)=2a0+n=1ancosnx+bnsinnx那么改怎么求取各个系数呢?
    先求 a 0 a_0 a0,两边同时在 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [π,π]上积分得到
    ∫ − π π f ( x ) d x = ∫ − π π a 0 2 d x + ∫ − π π ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ) d x \int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{a_0}{2}dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infin (a_n\cos n x+b_n \sin nx)dx ππf(x)dx=ππ2a0dx+ππn=1(ancosnx+bnsinnx)dx根据三角函数的正交性可知,等式右边积分的第二项为0,故
    a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx a0=π1ππf(x)dx
    为了求取 a n a_n an,等式两边同时乘以 cos ⁡ n x \cos nx cosnx,并在 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [π,π]上进行积分,得到
    ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x = ∫ − π π a 0 2 cos ⁡ n x d x + ∫ − π π ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ) cos ⁡ n x d x = ∫ − π π a n cos ⁡ 2 n x d x = ∫ − π π a n 2 d x = π a n    ⟹    a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x 同理, b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x d x \begin{aligned} &\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx\\ =&\int_{-\pi}^{\pi} \frac{a_0}{2}\cos nxdx +\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infin (a_n\cos n x+b_n \sin nx)\cos nxdx\\ =&\int_{-\pi}^{\pi}a_n \cos^2 nxdx\\ =&\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_n}{2}dx\\ =&\pi a_n\\ \implies a_n=&\frac 1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx\\ 同理, b_n=&\frac 1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx\\ \end{aligned}\\ ====an=同理,bn=ππf(x)cosnxdxππ2a0cosnxdx+ππn=1(ancosnx+bnsinnx)cosnxdxππancos2nxdxππ2andxπanπ1ππf(x)cosnxdxπ1ππf(x)sinnxdx
  3. 三角级数收敛定理(狄利克雷充分条件):
    f ( x ) f(x) f(x)是周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数,如果它满足:
    (1)在一个周期内连续,或者只有有限个第一类间断点;
    (2)在一个周期内至多只有有限个极值点;
    那么f(x)的傅里叶级数收敛,并且:
    当x是 f ( x ) f(x) f(x)的连续点时,级数收敛于 f ( x ) f(x) f(x)
    当x是 f ( x ) f(x) f(x)的间断点时,级数收敛于 1 / 2 ( f ( x − ) + f ( x + ) ) 1/2(f(x^-)+f(x^+)) 1/2(f(x)+f(x+))
  4. 一般周期函数的傅里叶级数
    设一般周期函数具有周期 T = 2 l T=2l T=2l,则可以写成傅里叶级数
    f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π l x + b n sin ⁡ n π l x a n = 1 l ∫ − l l f ( x ) cos ⁡ n π l x d x b n = 1 l ∫ − l l f ( x ) sin ⁡ n π l x d x f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infin a_n\cos \frac{n\pi}{l}x+b_n\sin \frac{n\pi}{l}x\\ a_n=\frac 1 l \int_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi}{l}xdx\\ b_n=\frac 1 l \int_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi}{l}xdx f(x)=2a0+n=1ancoslx+bnsinlxan=l1llf(x)coslxdxbn=l1llf(x)sinlxdx
  5. 傅里叶级数的复数形式
    周期为 2 l 2l 2l的函数的傅里叶变换
    f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π l x + b n sin ⁡ n π l x f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infin a_n\cos \frac{n\pi}{l}x+b_n\sin \frac{n\pi}{l}x\\ f(x)=2a0+n=1ancoslx+bnsinlx
    根据欧拉公式
    cos ⁡ x = e x i + e − x i 2 , sin ⁡ x = − e x i − e − x i 2 i \cos x = \frac{e^{xi}+e^{-xi}}{2}, \sin x=-\frac{e^{xi}-e^{-xi}}{2}i cosx=2exi+exi,sinx=2exiexii
    带入上式得到
    f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n − b n i 2 e n π x i l + a n + b n i 2 e − n π x i l f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infin \frac{a_n-b_ni}{2}e^{\frac{n\pi xi}{l}}+ \frac{a_n+b_ni}{2}e^{-\frac{n\pi xi}{l}} f(x)=2a0+n=12anbnielxi+2an+bnielxi
    c n = a n − b n i 2 , d n = a n + b n i 2 c_n= \frac{a_n-b_ni}{2}, d_n= \frac{a_n+b_ni}{2} cn=2anbni,dn=2an+bni,则对两边同时乘一个量,同时做积分,根据虚指数函数的正交性
    ∫ − l l f ( x ) e − n π x i l d x = ∫ − l l a 0 2 e − n π x i l d x + ∫ − l l ( ∑ n = 1 ∞ a n − b n i 2 e n π x i l + a n + b n i 2 e − n π x i l ) e − n π x i l d x = ∫ − l l c n d x = 2 l c n    ⟹    c n = 1 2 l ∫ − l l f ( x ) e − n π x i l d x 类似 d n = 1 2 l ∫ − l l f ( x ) e − n π x i l d x 合并可得 f ( x ) = ∑ − ∞ ∞ c n e n π x i l 其中 c n = ∫ − l l f ( x ) e − n π x i l d x \begin{aligned} &\int_{-l}^lf(x)e^{-\frac{n\pi xi}{l}}dx\\ =&\int_{-l}^l\frac{a_0}{2}e^{-\frac{n\pi xi}{l}}dx +\int_{-l}^l\left(\sum_{n=1}^\infin \frac{a_n-b_ni}{2}e^{\frac{n\pi xi}{l}} +\frac{a_n+b_ni}{2}e^{-\frac{n\pi xi}{l}}\right)e^{-\frac{n\pi xi}{l}}dx\\ =&\int_{-l}^{l}c_ndx\\ =&2lc_n\\ \implies c_n=&\frac{1}{2l}{\int_{-l}^lf(x)e^{-\frac{n\pi xi}{l}}dx}\\ 类似d_n=&\frac{1}{2l}{\int_{-l}^lf(x)e^{-\frac{n\pi xi}{l}}dx}\\ 合并可得\\ f(x)=\sum_{-\infin}^{\infin}c_ne^\frac{n\pi xi}{l}\\ 其中c_n=\int_{-l}^lf(x)e^{-\frac{n\pi xi}{l}}dx \end{aligned}\\ ===cn=类似dn=合并可得f(x)=cnelxi其中cn=llf(x)elxidxllf(x)elxidxll2a0elxidx+ll(n=12anbnielxi+2an+bnielxi)elxidxllcndx2lcn2l1llf(x)elxidx2l1llf(x)elxidx
    能不能直接通过指数表达式展开成指数形式,而不通过三角级数间接转换?

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