取球问题——解题报告

题目链接：

http://192.168.1.251/contest/9/problem/25

题目大意：

有$n$个不同的小球，编号为$1\sim n$。求从这n个小球中取出至少m个小球的方案数。
数据范围：$3\le n\le 10^9$ ，$3\le m\le 10^5$

题目分析：

首先分析题目的数据范围，可知时间复杂度大致与$m$和$logn$有关。
如果直接按照题目的要求得到答案，那么就是求出$C_n^m+...+C_n^n$，而在现在的数据范围下，显然是不太合适的。因为$m\ll n$，所以很显然，根据二项式定理算$2^n-(C_n^0+...+C_n^{m-1})$显然更划算一些。所以我们只要在$O(m)$的时间内求出$C_n^0+..+C_n^{m-1}$的值即可。而通过观察我们可以发现一些规律。
$A_n^m$的含义是从$n$个中有序选择$m$个。而$A_n^m$与$A_n^{m-1}$的关系在哪里呢？实际上$A_n^m=A_n^1\times A_{n-1}^{m-1}=n\times A_{n-1}^{m-1}$。以此类推$A_{n-1}^{m-1}=A_{n-1}^1\times A_{n-2}^{m-2}=(n-1)\times A_{n-2}^{m-2}$，后面的项都可以这样拆开来。因为显然每一项都可以展开，所以这里很明显的展现出了递归的特性。
因为题目要求求和，所以：
$$A_n^1+A_n^2+...+A_n^{m-1}=n\times (1+A_{n-1}^1...+A_{n-1}^{m-2})=n\times (1+(n-1)\times (1+...+A_{n-2}^{m-3}))$$
转换成递归的表达形式就是
$$f(pos)=pos\times (1+dfs(pos-1))$$
而从$A_n^x$到$C_n^x$仅仅只需要除以$x!$即可。所以很容易转换过来：
$$dfs(pos)=pos\times (\frac{1}{n-pos+1}+dfs(pos-1))$$
取模的逆元问题在这里不做赘述了。最后时间复杂度为$O(m+logn)$。在本题的可接受范围内。

正解程序：

#include 
#include 
#include 
#include 
#define mod 1000000007

using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,fac[1000010],inv[1000010];
ll dfs(ll pos)
{
	if(pos==n-m+2)
		return pos*inv[n-pos+1]%mod;
	return pos*((inv[n-pos+1]+dfs(pos-1))%mod)%mod;
}
ll quickmi(ll a,ll p)
{
	ll ans=1;
	while(p)
	{
		if(p&1)
			ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		p>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	fac[0]=1;
    for(ll i=1;i<=m;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
   	inv[1]=1;
    for(ll i=2;i<=m;i++)
        inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    inv[0]=1;
    for(ll i=1;i<=m;i++)
        inv[i]=inv[i]*inv[i-1]%mod;
	ll ans=dfs(n)+1;
	printf("%lld\n",(quickmi(2,n)-ans+mod)%mod);
	
	return 0;
}