Leetcode1043. 分隔数组以得到最大和

给你一个整数数组 arr，请你将该数组分隔为长度最多为 k 的一些（连续）子数组。分隔完成后，每个子数组的中的所有值都会变为该子数组中的最大值。

返回将数组分隔变换后能够得到的元素最大和。

注意，原数组和分隔后的数组对应顺序应当一致，也就是说，你只能选择分隔数组的位置而不能调整数组中的顺序。

示例 1：

输入：arr = [1,15,7,9,2,5,10], k = 3
输出：84
解释：
因为 k=3 可以分隔成 [1,15,7] [9] [2,5,10]，结果为 [15,15,15,9,10,10,10]，和为 84，是该数组所有分隔变换后元素总和最大的。
若是分隔成 [1] [15,7,9] [2,5,10]，结果就是 [1, 15, 15, 15, 10, 10, 10] 但这种分隔方式的元素总和（76）小于上一种。 

示例 2：

输入：arr = [1,4,1,5,7,3,6,1,9,9,3], k = 4
输出：83

示例 3：

输入：arr = [1], k = 1
输出：1

解题思路：

该题属于动态规划问题，由于在给定数组排序的提前下，求解划分的最大值，那么可以使用 f(i) 表示前 i 个元素（一个子问题）进行最优划分而得到的最大值。

状态定义

定义表示到第i个数的最大和，这里为0。

状态转移方程

对当前的元素，需要往回看K个数，下标从右往左分别是：

分段逐渐扩大，求出最大为K个数分段的最大值，然后和用最大值替换分段和不用最大值替换时的结果。

代码：

class Solution(object):
    def maxSumAfterPartitioning(self, arr, k):
        """
        :type arr: List[int]
        :type k: int
        :rtype: int
        """
        n = len(arr)
        #包含前0个元素，即f[0]=0。所以这里乘以(n+1)
        f = [0]*(n+1)
        #前1个元素，前2个元素，....,前n个元素
        for i in range(1,n+1):
            #min(k,i)防止出现前面只有1个元素，还去找前3个元素的情况出现
            #f(i)的前1个元素进行划分（当前元素），前2个元素，....,前k个元素
            for j in range(1,min(k,i)+1):
                #i-1表示前i个元素对应最后一个元素的下标是i-1,后面又加1表示前1个元素是自己，所以 
                加1
                #完整写法应该是max_value = max(arr[i-1-j+1:i])
                #这里max_value表示前i个元素中的最大值,注意数组[:]前开后闭
                max_value = max(arr[i-j:i])
                #判断是否在该点分割
                f[i] = max(f[i],f[i-j]+j*max_value)
        return f[n]