[数据结构]c语言二叉树基本实现[附有递归展开图]

一、树的概念与结构

1.树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

特殊的节点：根结点 根节点没有前驱结点

树是递归定义的

注意：树型结构中 子树之间不能有交集 否则不是树形结构

2.树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A节点的度为6 ；

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点；

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点；

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点；

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点；

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点；

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6；

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4；

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点；

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先；

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙；

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

3.树的代码表示方法

既要保存值域也要保存结点与结点之间的关系

表示方法有很多：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法

这里使用孩子兄弟表示法：父亲指向左边第一个孩子 孩子之间用指针连接起来

typedef int DataType;
struct Node {
	struct Node* _firstchild1;
	struct Node* _pNextBrother;
	DataType _data;
};

二、二叉树

1.概念

二叉树是结点的一个有限集合 集合：1.空集合 2. 由一个根节点加上左子树和右子树的二叉树组成

特点： 1. 二叉树不存在度大于二的结点 2. 二叉树的子树有左右之分 次序不可颠倒 二叉树是有序树

2.特殊的二叉树

满二叉树：每一层的结点都达到最大值 即K层的二叉树 结点总数为2^k-1

完全二叉树：效率很高的数据结构，除了最后一层的结点可以有少点的情况，其以上为满二叉树。且最后一层结点，必须是从左到右挨着依次排序。

3.二叉树的性质

任意层数的最大节点数: 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点；

//第一层有2^0个 第二层有2^1个 第i层有2^（i-1）次个结点

最小节点数：若规定根节点的层数为1，则深度为 h 的二叉树的最小总结点数是2^(h-1);

//当最后一层只有一个结点的时候，完全二叉树的结点总数最少

最大节点数: 若规定根节点的层数为1，则深度为 h 的二叉树的最大总结点数是 2^h-1；

//2^0+2^1+....+2^(h-1)=2^h - 1 ; 利用错位相减可以求解

叶节点数和度为2的分支节点数的关系: 对任何一棵二叉树, 如果度为0的叶结点个数为 n , 度为2的分支结点（双分支结点）个数为 n'，则有 n = n' + 1，即二叉树的叶节点数始终比度为2的分支节点数多1；

//（度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度）

树的深度：若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度为

// 2^h -1 =n 那么 h=

顺序存储中父节点和子节点的位置关系：对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于下标为 i 的结点有：

1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

2. 若2i+1=n无左孩子，出现越界

3. 若2i+2=n无右孩子，出现越界

// 详细解释原因在堆博客中有：详详详解堆调整算法及TOP-K 尾附：堆基本实现_赖床的小阿giao的博客-CSDN博客

4.二叉树性质的相关题型

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

解释：设度为2的结点为n' 二叉树中叶子结点数为n 则利用性质 加一即可 选B

2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（ ）

A 非完全二叉树

B 堆

C 队列

D 栈

解释： 栈和队列是可以用顺序存储结构的，堆即完全二叉树也是可以的，但是非完全二叉树的节点编号不连续，不可

3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

解释：度为1的叫n1 在完全二叉树中n1最少0个 最多1个

度为0的节点n0（叶子节点）总比度为2的节点多一个

当n1=1时：n0+n2+n1=2n0+1-1=2n 满足整除条件

当n1=0时：n0+n2+n1=2n0-1 不满足整除条件 则叶子节点为n个

4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）

A 11

B 10

C 8

D 12

解释：这是一个范围题目，2^9=512 ; 2^10=1024

完全二叉树的范围在上方性质也有 2^(h-1)~2^h-1;

当h=10时，带入为512~1023 满足题意 选B

5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A 383

B 384

C 385

D 386

解释：度为1的叫n1 在完全二叉树中n1最少0个 最多1个

度为0的节点n0（叶子节点）总比度为2的节点多一个

当n1=1时：n0+n2+n1=2n0+1-1=767 不满足整除条件

当n1=0时：n0+n2+n1=2n0-1=767 满足整除条件 则叶子节点为384个 故选B

//博主也有数据结构这块的选择题 私聊即可

三、二叉树的存储结构

顺序存储：

1.对于 完全二叉树 来说，其顺序存储是十分合适的。即堆实现：详详详解堆调整算法及TOP-K 尾附：堆基本实现_赖床的小阿giao的博客-CSDN博客

2.对于 一般的二叉树 ，特别是对于那些单分支节点较多的二叉树来说是很不合适的，因为可能只有少数存储单元被利用，特别是对退化的二叉树（即每个分支节点都是单分支的），空间浪费更是惊人。

3.在顺序存储结构中， 找一个节点的双亲和孩子都很容易 。parent=(child-1)/2;

链式存储：

1.除了指针外，二叉链 比较节省存储空间 。占用的存储空间与树形没有关系，只与树中节点个数有关。

2.通常是链表中每个结点由三个域组成：数据域和左右指针域；左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址；链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，三叉链会在高阶数据结构如红黑树中使用到

3.在二叉链中， 找一个节点的孩子很容易 ，但找其双亲不方便。一颗树采用孩子兄弟链存储结构表示

四、二叉树的三序遍历

1.暴力建树准备工作

二叉树的遍历 是指按照一定次序访问树中所有节点，并且每个节点仅被访问一次的过程。

遍历 是二叉树最 基本的运算，是二叉树中其他运算的基础。

由于在此处还不会创建树的结构 所以可以采用暴力建树的方法

建立以上树：

#include
#include
#include
typedef int BTDataType;
//三个作用域
typedef struct BinaryTreeNode {
	BTDataType data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;
//暴力建树
BTNode* CreatTree() {
	BTNode* n1 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	assert(n1);
	BTNode* n2 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	assert(n2);
	BTNode* n3 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	assert(n3);
	BTNode* n4 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	assert(n4);
	BTNode* n5 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	assert(n5);
	BTNode* n6 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	assert(n6);
	BTNode* n7 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	assert(n7);
	n1->data = 1;
	n2->data = 2;
	n3->data = 3;
	n4->data = 4;
	n5->data = 5;
	n6->data = 6;
	n7->data = 7;

	n1->left = n2;
	n1->right = n4;
	n2->left = n3;
	n2->right = NULL;
	n4->left = n5;
	n4->right = n6;
	n3->left = NULL;
	n3->right = n7;
	n7->left = NULL;
	n7->right = NULL;
	n5->left = NULL;
	n5->right = NULL;
	n6->left = NULL;
	n6->right = NULL;
	return n1;
}
int main()
{

	return 0;
}

2.什么是三序遍历？？

前序/中序/后序的递归结构遍历：

1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前

// 根 左子树 右子树

2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）

// 左子树 根 右子树

3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后

// 左子树 右子树 根

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为

根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

Tips：这里容易产生误区的地方在于：拿先序遍历为例子：当访问到最底层的一个节点（eg：上图中左子树3结点）的时候，在代码输出看起来是3--2，但实际上3还会左子树右子树访问俩次空，所以在判空的时候可以有意而为之，加上输出NULL

3.三序遍历的逻辑实现图

前序：1237456

中序：3721546

后序：7325641

4.三序遍历的代码实现与递归展开图 （附加：层序遍历）

注意：判空if语句中的return千万不可少 否则会出现只有左子树递归的问题

前序遍历：

void PreOrder(BTNode* root) {
	if (root == NULL) {
		printf("NULL ");
		return; // 这步漏掉了 导致只输出了左子树
	}
	printf("%d ", root->data);
	PreOrder(root->left);
	PreOrder(root->right);
}

中序遍历：

void InOrder(BTNode* root) {
	if (root == NULL) {
		printf("NULL ");
		return;
	}
	InOrder(root->left);
	printf("%d ", root->data);
	InOrder(root->right);
}

后序遍历：

void PostOrder(BTNode* root) {
	if (root == NULL) {
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%d ", root->data);
}

层序遍历：

思路：利用一个队列来存储二叉树节点的地址，先让父节点入队列，然后让父节点出队列，但是在父节点出队列的同时会让父节点的左右字孩子入队列 (如果没有左右孩子就不入)，这样就使得当这一层的节点全部出队列时，下一层的节点刚好全部入队列，最后当队列为空时，二叉树的节点就全部访问完了

注意：我们需要将二叉树节点的结构体需要定义在队列结构体之前

typedef BTNode* QDataType;
typedef struct QueueNode
{
	struct QueueNode* next;
	QDataType data;
}QNode;

typedef struct Queue
{
	//int size;
	QNode* head;
	QNode* tail;
}Queue;

void QueueInit(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	pq->head = pq->tail = NULL;
}

void QueueDestroy(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	QNode* cur = pq->head;
	while (cur)
	{
		QNode* next = cur->next;
		free(cur);

		cur = next;
	}

	pq->head = pq->tail = NULL;
}

void QueuePush(Queue* pq, QDataType x)
{
	assert(pq);
	QNode* newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));
	if (newnode == NULL)
	{
		printf("malloc fail\n");
		exit(-1);
	}
	newnode->data = x;
	newnode->next = NULL;

	if (pq->tail == NULL)
	{
		pq->head = pq->tail = newnode;
	}
	else
	{
		pq->tail->next = newnode;
		pq->tail = newnode;
	}
}

void QueuePop(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	assert(!QueueEmpty(pq));

	if (pq->head->next == NULL)
	{
		free(pq->head);
		pq->head = pq->tail = NULL;
	}
	else
	{
		QNode* next = pq->head->next;
		free(pq->head);
		pq->head = next;
	}
}

void TreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	if (root)
		QueuePush(&q, root);

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		printf("%d ", front->data);

		// 下一层，入队列
		if (front->left)
			QueuePush(&q, front->left);

		if (front->right)
			QueuePush(&q, front->right);
	}
	printf("\n");

	QueueDestroy(&q);
}

五、链式二叉树的实现（暴力树建立的是7个节点 递归展开图为了方便 用6个节点处理）

1.准备工作：

#include 
#include 
#include 

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

2.非暴力创建二叉树（给予数组）：

由于二叉树不能进行增加和删除操作，所以一般都是给定一个字符串，该字符串中含有需要我们构建的二叉树的所有节点，我们通过读取字符串中的内容来构建二叉树。

思路：

1.利用前序遍历的思路构建，逻辑为根 左子树 右子树

2.记录下标用的是指针*pi 原因是 当遍历且返回左子树之后 i的值不会被记录 依然使用的是一开始递归左子树的i值，也就是说，层层遍历下去的i值不会被返回，从而导致乱码，所以使用了指针

3.在代码中：先判断是否为# 接着创建根节点且对根结点进行赋值 接着递归左子树右子树

BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int* pi) {
	if (a[*pi] == '#') {
		(*pi)++;
		return NULL;
	}
	// 创建根节点并赋值
	BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	//担心开辟失败
	if (root == NULL) {
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}
	//赋值且令下标移动到下一位
	root->data = a[*pi];
	(*pi)++;
	//创建左子树右子树
	root->left = BinaryTreeCreate(a, pi);
	root->right = BinaryTreeCreate(a, pi);
	//注意返回值
	return root;
}

递归展开分析：

eg：ABDNNENH##CF##G##

代码写好了 怎么判断是否正确？ 可以利用牛客题库：有此题目 但最后需要中序遍历二叉树遍历_牛客题霸_牛客网

3.二叉树の节点个数

思路：一定要采用分治的思想 运用计数太费劲 以下先为计数示范;

//也可以利用全局变量 int count =0; 直接写在函数外面
int TreeSize(BTNode* root) {
	static int count = 0;
	if (root == NULL) return count; ++count;
	TreeSize(root->left);
	TreeSize(root->right);
}
int main()
{
	printf("%d", TreeSize(CreatTree()));
	return 0;
}

下面为利用分治子问题解释（将根的问题交给下属解决）：

int TreeSize(BTNode* root) {
	return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}

4.二叉树的( •̀ ω •́ )叶节点个数

int TreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;
//没有子节点代表该节点为叶节点
	if (root->left == NULL&& root->right == NULL)
		return 1;
//左子树叶节点+右子树叶节点
	return TreeLeafSize(root->left)+ TreeLeafSize(root->right);
}

5.二叉树第K层节点个数

思路：将求第K层节点个数转化为求第K-1层节点个数

// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
	assert(k > 0);
	if (root == NULL)
		return 0;
	if (k == 1)
		return 1;
	//转化为求第K-1层的节点个数
	return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

6.返回二叉树x所在的节点（难点：返回值）

（注意返回值 这个函数拥有修改节点的价值 虽然只有线索二叉树有必要修改）

思路：这个问题需要注意的是条件的判断，不可以一意孤行

错误示范一：完全不加判断条件 压根不管最后一个return能不能走到

BTNode* TreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {
	if (root == NULL)return NULL ;
	if (root->data == x) return root;
	return BinaryTreeFind(root->left, x);
	return BinaryTreeFind(root->right, x);
}

最清晰明了的写法：为了避免找不到 即时保存

BTNode* TreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)
	{
		return NULL;//空树
	}
	if (root->data == x)
	{
		return root;
	}
	BTNode* lret = TreeFind(root->left, x);//接收一下节点 有点像求高度 避免再次递归调用求值
	if (lret)
	{
		return lret;
	}
	//左树没有找到
	BTNode* rret = TreeFind(root->right, x);
	if (rret)
	{
		return rret;
	}
	return NULL;
}

7.判断二叉树是否为完全二叉树（难点）

完全二叉树的前 h-1 层都是满二叉树，最后一层不一定是满二叉树，但是最后一层的节点必须是有序的；也就是说：当完全二叉树遇到空节点之后，后面就不会再出现节点，否则，就是非完全二叉树；

根据上面这个性质，我们可以利用层序遍历来判断二叉树是否为完全二叉树：对二叉树进行层序遍历，与普通层序遍历不同的是，当节点的孩子为空时，我们仍然入队列；当队顶的元素为空时，停止循环，检查队列中剩余的元素，如果剩余元素中存在非空节点，则不是完全二叉树，否则就是完全二叉树。

int BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	if (root)
		QueuePush(&q, root);

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);

		if (front == NULL)
		{
			break;
		}
	
		QueuePush(&q, front->left);
		QueuePush(&q, front->right);
	}

	// 遇到空以后，后面全是空，则是完全二叉树
	// 遇到空以后，后面存在非空，则不是完全二叉树
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		if (front != NULL)
		{
			QueueDestroy(&q);
			return false;
		}
	}

	QueueDestroy(&q);
	return true;
}

8.二叉树的高度

思路：有点后序遍历的感觉 先递归整出左子树高度与右子树高度 最后树的高度就是左右二者最大值+1

int TreeHeight(BTNode* root) {
	if (root == NULL) return 0;
	int lh = TreeHeight(root->left);
	int rh = TreeHeight(root->right);
	return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
}

9.销毁二叉树

思路：通过后序遍历的思维销毁二叉树

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;

	//通过后序遍历来销毁节点
	BinaryTreeDestory(root->left);
	BinaryTreeDestory(root->right);
	free(root); 
}