【生成树计数】专题总结

在CTSC和APIO上好像经常听到生成树计数这东西

于是就去看了下论文

蒟蒻表示看不懂证n明orz 反正懂用就行了。。

 

生成树计数

生成树计数就是给出一种n个点的无向图G 求这n个点的生成树个数

G的度数矩阵d[i][j] 当i≠j时d[i][j]=0 否则等于i点的度数

G的邻接矩阵a[i][j] a[i][j]=i、j间的边的个数（能有重边）

Kirchhoff矩阵 c[i][j]=d[i][j]-a[i][j]

Kirchhoff矩阵的n-1阶主子式的行列式的值的绝对值即为生成树的个数

n-1阶主子式即为把原矩阵去掉任意第i行和第i列得到的矩阵

 

行列式的值的计算

行列式的算法一般是用高斯消元计算出上三角矩阵 再把主对角线的值累成起来

但是高斯消元可能会导致出现小数

于是我们用一种类似求gcd的方法 辗转消除即可

这里要注意 如果交换矩阵的某两行 行列式的值要*-1 （虽然对生成树计数的计算没影响- -）

 

最小生成树计数代码

  1 #include <cstdio>

  2 #include <cstring>

  3 #include <algorithm>

  4 using namespace std;

  5 const int N=101,M=1001,mo=31011;

  6 struct info{

  7     int x,y,lon;

  8     info(const int a=0,const int b=0,const int c=0):

  9         x(a),y(b),lon(c){}

 10 }sl[M];

 11 struct inli{

 12     int next,data;

 13     inli(const int a=0,const int b=0):

 14         next(a),data(b){}

 15 }line[M*2];

 16 int n,m,nl,num,change[N],save[N],bo[N],link[N][N],son[N],jz[N][N],fat[N],d[N],ans=1;

 17 inline bool cmp(info x,info y){ return x.lon<y.lon; }

 18 void clean(){

 19     memset(jz,0,sizeof(jz));

 20     memset(bo,0,sizeof(bo));

 21     memset(son,0,sizeof(son));

 22     nl=0;

 23 }

 24 int getfat(int t){ return fat[t] ? fat[t]=getfat(fat[t]) : t; }

 25 void search(int t){

 26     bo[t]=2,save[++save[0]]=t;

 27     for (int i=son[t];i;i=line[i].next)

 28     if (bo[line[i].data]==1) search(line[i].data);

 29 }

 30 void swap(int x,int y){

 31     for (int i=1;i<=num;i++){ int t=jz[x][i]; jz[x][i]=jz[y][i],jz[y][i]=t; }

 32 }

 33 void gcd(int x,int y,int t){

 34     while (jz[y][t]){

 35         if (abs(jz[x][t])>abs(jz[y][t])) swap(x,y);

 36         //abs

 37         int xx=jz[y][t]/jz[x][t];

 38         for (int j=t;j<=num;j++) jz[y][j]=(jz[y][j]-jz[x][j]*xx%mo)%mo;

 39         //need %mo

 40     }

 41 }

 42 int getans(){

 43     int res=1;

 44     num=save[0]-1;

 45     for (int i=1;i<=num;i++){

 46         if (!jz[i][i])

 47         for (int j=i+1;j<=num;j++)

 48         if (jz[j][i]){

 49             swap(i,j);

 50             break;

 51         }

 52         for (int j=i+1;j<=num;j++)

 53         if (jz[j][i]) gcd(i,j,i);

 54     }

 55     for (int i=1;i<=num;i++) res=res*jz[i][i]%mo;

 56     return res<0 ? -res : res;

 57 }

 58 void makeans(){

 59     for (int i=1;i<=n;i++)

 60     if (bo[i]==1){

 61         save[0]=0;

 62         search(i);

 63         for (int i=1;i<=save[0];i++)

 64         for (int j=1;j<=save[0];j++) jz[i][j]=0;

 65         change[0]=0;

 66         for (int i=1;i<=save[0];i++) change[save[i]]=++change[0];

 67         for (int j=1;j<=save[0];j++){

 68             int now=save[j];

 69             for (int k=son[now];k;k=line[k].next){

 70                 ++jz[change[now]][change[now]];

 71                 --jz[change[now]][change[line[k].data]];

 72             }

 73         }

 74         ans=ans*getans()%mo;

 75         for (int j=2;j<=save[0];j++) fat[save[j]]=save[1];

 76     }

 77 }

 78 void work(){

 79     sort(sl+1,sl+m+1,cmp);

 80     for (int i=1;i<=m;){

 81         int save=sl[i].lon;

 82         clean();

 83         for (;i<=m && sl[i].lon==save;++i){

 84             int x=getfat(sl[i].x),y=getfat(sl[i].y);

 85             if (x==y) continue;

 86             bo[x]=bo[y]=1;

 87             line[++nl]=inli(son[x],y),son[x]=nl;

 88             line[++nl]=inli(son[y],x),son[y]=nl;

 89         }

 90         makeans();

 91     }

 92 }

 93 int main(){

 94     freopen("bz1016.in","r",stdin);

 95     freopen("bz1016.out","w",stdout);

 96     scanf("%d%d",&n,&m);

 97     for (int x,y,z,i=1;i<=m;i++){

 98         scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);

 99         sl[i]=info(x,y,z);

100     }

101     work();

102     memset(bo,0,sizeof(bo));

103     int add=0;

104     for (int i=1;i<=n;i++)

105     if (!bo[getfat(i)]) add+=bo[getfat(i)]=1;

106     if (add>1) puts("0");

107     else printf("%d",ans);

108     fclose(stdin);

109     fclose(stdout);

110 }

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