信号与系统 chapter3 冲激函数的尺度变换

在chapter2里我们简单的示例了一个阶跃函数做尺度变换的例子，在这一节里我们会对冲激函数做尺度变换，同样很简单

关于$\delta (at)$

它的证明如下，使用换元法即可得到：

始终利用的是冲激函数只在$t=0$处有意义

如果它发生了左右时移，我们第一步同样的也是要把$t$前面的系数化为1，再分析
$\delta (at-t_0)=\delta (a(t-\frac{t_0}{a}))$
到这一步就和前面只有伸缩变换时的情况一样了

结果为：$\frac{1}{|a|}\delta (t-\frac{t_0}{a})$

有一个特殊的例子：
$\delta (-t)=(-1{)}^n{\delta }^n(t)$
应用如下：

后面的冲激函数要求几阶导数，你给前面的式子求个几阶导数，不要忘记乘$(-1{)}^n$

一组练习

1.前面的式子在$t_{\to }0$极限为2，与后面冲激函数一作用，不难得到为结果2
2.这个更简单，由前面学习的冲激函数性质，直接把前面的式子在$t=1$处求个导就完事了，记得加上$(-1{)}^n$
3.前面学过的那个$at$的性质，要在这里用，结果=10
4.还是第2题里用到的性质

积分相当于打回原形了属于是