leetcode-300. 最长上升子序列

题目

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4 
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

解题思路

dp

dp[i]表示以nums[i]结尾的最长上升子序列长度，更新规则为：
$$dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1),\text{if}nums[i]>nums[j],\forall j<i$$
初始时dp[0]=1

时间复杂度：$o(n^2)$
空间复杂度：$o(n)$

贪心 + 二分

参考：https://leetcode.com/problems/longest-increasing-subsequence/solutions/1326308/c-python-dp-binary-search-bit-segment-tree-solutions-picture-explain-o-nlogn/?orderBy=most_votes

看了好几篇题解都没看懂，终于找到一篇写得很清楚的了……

以nums = [2, 6, 8, 3, 4, 5, 1]为例，来找出所有上升子序列

1. 选第1个元素，有sub1 = [2]
2. 选第2个元素，有sub1 = [2,6]
3. 选第3个元素，有sub1 = [2,6,8]
4. 碰到3，不能往sub1里加了，但是想留下来3，因为越小的数字，对我们找到长的上升子序列越有利，此时我们再开一个数组保存当前结果，也即此时有：sub1 = [2,6,8], sub2 = [2,3]
5. 碰到4，不能往sub1里加，但是可以往sub2里加，此时有：sub1=[2,6,8], sub2=[2,3,4]
6. 碰到5，同理加到sub2里，此时有：sub1=[2,6,8], sub2=[2,3,4,5]
7. 碰到1，不能加到sub1, sub2里，因此再开一个，此时有：sub1=[2,6,8], sub2=[2,3,4,5], sub3=[1]
8. 最后求结果，从sub中选择最长的那个，res = len(sub2) = 4

思路是这么个思路，但是发现要消耗比较多空间来保存sub数组，不太划算，所以考虑合并这些数组。当碰到新的数字时，可以直接替换已有的数组中的数字。如上面第4步，可以直接把3插入到sub1里，替换掉6。这种方法不会影响sub1的长度，因此假设最终sub1仍然为最长数组，那么长度没有变化，len(sub1)仍然是正确答案。同时，这种方法可以保留新的小一些的数字，为之后更新数组做贡献，比如按此方法替换掉6后，在第5步时，又会用4替换掉8，此时sub1完全被sub2取代

替换数字时，因为sub数组是递增的，所以可以用二分查找，找到当前数字能够插入的最左索引即可

时间复杂度：$o(n\log n)$
空间复杂度：$o(n)$

代码

dp

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        dp = [1] * len(nums)
        for i in range(1, len(nums)):
            for j in range(i):
                if nums[i] > nums[j]:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
        return max(dp)

贪心+二分

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        aux_stack = [nums[0]]
        for each_num in nums[1:]:
            if each_num > aux_stack[-1]:
                aux_stack.append(each_num)
            else:
                index = bisect.bisect_left(aux_stack, each_num)
                aux_stack[index] = each_num
        return len(aux_stack)