那些经典的算法：从猜数字到二分查找算法

引言

有个比较简单的游戏，叫猜数字， 从0-1000之间随便想一个数字，让对方猜，给出数字大了或小了的提示，看谁用最短的次数来猜出数字。
猜猜，0-1000之间数字，最少需要用多少次，最多只需要用10次就可以猜中结果，即使数字范围扩大到42亿，也只需要32次就可以猜中结果，是不是很快?

如果让我们自己想，如何快速猜中要猜测的数字那，数字只所以难猜中是因为范围比较大。要想快速地猜中数字，需要缩小数字的范围，比如这0-1000这个数字，第一次猜测为500，对方如果反馈数字大了，则说明要猜测的数字在0-499之间，如果反馈真实数字比500大，那么说明要猜测的数字就在501-999之间，这种想法就是今天要介绍的二分法,说起来很简单吧。

总结下，二分查找算法就是在对有序集合的数据查找过程中，每次都取中间值，这样把每次的查询区间都缩小了一半，直到找到元素或者查找的集合缩小为0。

二分查找的算法执行时间分析

以下为算法的时间复杂度分析，查找区间依次为：

n，n/2 , n/2²,n/2³,n/2⁴,...n/2^k...

查找结束的条件是查找到元素或者区间为1，当n/2^k=1 的时候说明要查找的区间已经变为了1，那么总共需要查找的缩小的次数为k次，而每次只需要比较一次，所以算法的时间复杂度为O(k),根据n/2^k=1得到k = log₂ⁿ，根据时间复杂度的简写算法可以写成O(logn),这是非常优秀算法。

二分查找算法的局限性

二分查找算法虽然高效，但是简单的二分查找的应用范围并不广泛，主要原因：

• 要求是有序的数组的结构，不然如果是链表，随机取中间元素的时间复杂度就是O(n)而不是常量时间了。
• 数组不能太小，如果仅仅做数据查找，数组不能太小，太小差异不大，如果两个数据的比较比较耗时，用二分查找还是适合的。
• 数组不能太大，太大的话，数组的占空间比较大，而且要求空间必须是连续的，这个对内存要求高。

二分查找算法代码实现

public class TestBinSearch {

    static int bsearch(int a[], int size, int searchValue) {
        int low = 0;
        int high = size - 1;
        //用high-low 是为了防止数组过大，两数相加溢出，用移位是为了提升性能
        int mid = (high - low) >> 1 + low;

        while (low <= high) {
            if (a[mid] > searchValue) {
                high = mid - 1;
            } else if (a[mid] < searchValue) {
                low = mid + 1;
            } else if (a[mid] == searchValue) {
                return mid;
            }
            mid = ((high - low) >> 1) + low;
        }
        return -1;
    }

    static int bsearch2(int a[], int size, int searchValue) {
        return bsearchInter(a, 0, size - 1, searchValue);
    }

    static int bsearchInter(int a[], int low, int high, int searchValue) {
        if (low > high) {
            return -1;
        }
        int mid = ((high - low) >> 1) + low;
        if (a[mid] == searchValue) {
            return mid;
        } else if (a[mid] > searchValue) {
            return bsearchInter(a, low, mid - 1, searchValue);
        } else {
            return bsearchInter(a, mid + 1, high, searchValue);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int a[] = {1, 4, 5, 77, 333, 980, 1245};
        int seachValue = 1245;
        int index = bsearch(a, 7, seachValue);
        if (index != -1) {
            System.out.println("Find index:" + index);
        } else {
            System.out.println("Not Find data:" + seachValue);
        }

        int index2 = bsearch2(a, 7, seachValue);
        if (index != -1) {
            System.out.println("Find index2:" + index);
        } else {
            System.out.println("Not Find data:" + seachValue);
        }
    }
}

二分查找算法的用途

简单的二分查找，受到以上条件限制，所以用途并不广泛，很多时候我们更喜欢用散列表，但是如果查找一些特殊情况的元素，比如查找最后一个大于等于给定值的数据；查找第一个值小于等于给定值的元素，就可以用二分查找高效解决，不过代码有些烧脑，容易出bug，要仔细分析。

本篇为《数据结构和算法之美》课程整理。