C++---状态压缩dp---玉米田（每日一道算法2023.4.16）

注意事项：
本题为"状态压缩dp—蒙德里安的梦想"和"状态压缩dp—小国王"的近似题，建议先阅读这两篇文章并理解。

题目：
农夫约翰的土地由 M×N 个小方格组成，现在他要在土地里种植玉米。
非常遗憾，部分土地是不育的，无法种植。
而且，相邻的土地不能同时种植玉米，也就是说种植玉米的所有方格之间都不会有公共边缘。
现在给定土地的大小，请你求出共有多少种种植方法。
土地上什么都不种也算一种方法。

输入格式
第 1 行包含两个整数 M 和 N。
第 2…M+1 行：每行包含 N 个整数 0 或 1，用来描述整个土地的状况，1 表示该块土地肥沃，0 表示该块土地不育。

输出格式
输出总种植方法对 1e8 取模后的值。

数据范围
1≤M,N≤12

输入:
2 3
1 1 1
0 1 0

输出：
9

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 14, M = 1 << 12, mod = 1e8;
int n, m, t, st[N];                     //n*m的土地，t是每次读入的单个土地数据，st[i]为第i行的土地数据如5(10进制)=101(二进制)代表第1,3块土地不能种，
long long f[N][M];                      //f[i][j]: 已经种了前i行的土地，且第i行的状态为j的方案(状态为j指的是二进制状态来表示土地种植状况，状压dp的常用手段)
vector<int> state, state_trans[M];      //state存储所有合法状态, state_trans[a] = {b1, b2, b3}存储能从合法状态a转移到的合法状态b,


bool check(int s) {     //判断是否存在相邻的1
    for (int i = 0; i<m; i++) {
        if ((s >> i & 1) && (s >> (i+1) & 1)) return false;
    }
    return true;
}

int main() {
    cin >> n >> m;

    //预处理每一行不能使用的土地转化为二进制状态，将不能使用的地方表示为1，能使用表示为0，这样后续判断的时候进行对状态进行&运算，如果不为0说明不合法
    for (int i = 1; i<=n; i++) {
        for (int j = 0; j<m; j++) {
            cin >> t;
            st[i] += (!t << j);   //比如读入本行土地数据为010，那么这里就会变为101
        }
    }

    //预处理所有合法状态(也就是种植玉米的方格不能挨在一起)
    for (int i = 0; i < (1 << m); i++) {
        if (check(i)) state.push_back(i);
    }

    //预处理所有能够互相转移的合法状态
    //条件：1.a和b都是合法状态  2.a和b的&运算为0(也就是在同一列两个状态不能都为1, 不能都种玉米)
    for (auto &a : state) {
        for (auto &b : state) {
            if ((a&b)==0) state_trans[a].push_back(b);
        }
    }

    //dp
    f[0][0] = 1;    //前0行土地已经种好，且第0行的状态为0一个都不种，是一种合法方案,
    for (int i = 1; i<=n+1; i++) {                      //枚举每行土地,(还是n+1的小优化)
        for (auto &a : state) {                     //枚举所有合法状态a,
            if ((a & st[i])==0) {                        //当状状态a没有在不育土地上种植的情况可以进行状态转移,
                for (auto &b : state_trans[a]) {    //枚举能够从状态a转移到的状态b,
                    f[i][a] = (f[i][a]+f[i-1][b])%mod;
                }
            }
        }
    }
    cout << f[n+1][0];      //前n+1行土地已经种好，且第n+1行的状态为0一个都不种的所有方案就是前n行的所有方案,
    return 0;
}

思路：
这题和小国王那题真的很像，明白那个的话这个也就很好理解了，强烈推荐先看那个。

还是经典的y式dp法
1.状态表示
f[i][j]: 前i行的土地已经种好(包括第i行)，且第i行的状态为j的方案，
属性为Count，
(状态为j指的是二进制来表示土地种植状况，状压dp的常用手段)，

2.状态计算
和小国王那题的画图很像，偷个懒就不画了，大家脑补一下吧哎嘿

一，首先来想一下什么状态(第i行)是合法的呢？
也就是对于同一行来说，玉米和玉米之间最少保持一格距离为合法的状态。

二，那再来想一下什么情况下进行状态更新(用第i行更新第i+1行)是可行的呢？
1.a和b两个状态都是合法状态，
2.a和b的与运算等于0，(也就是a和b不能在相同列上都种玉米)，

最后就是状态更新，这题只有两维很好理解:
f[i][a] += f[i-1][b]
“前i行摆完了，且第i行的状态是a，第i-1行的状态是b的方案数” 和 "前i-1行摆完了，且第i-1行的状态是b的方案数"是相同的，直接叠加方案数即可。

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声明：
算法思路来源为y总，详细请见https://www.acwing.com/
本文仅用作学习记录和交流