数位统计DP

数位统计DP是一种模板性较强的DP套路题，主要用于对数字数位上的统计。在完成一些对数位上数字有明确要求的统计操作时，对区间内数字的暴力逐个枚举会产生大量无效工作，严重超时。

[ZJOI2010] 数字计数

题目描述

给定两个正整数 $a$ 和 $b$，求在 $[a,b]$ 中的所有整数中，每个数码(digit)各出现了多少次。

输入格式

仅包含一行两个整数 $a,b$，含义如上所述。

输出格式

包含一行十个整数，分别表示 $0\sim 9$ 在 $[a,b]$ 中出现了多少次。

样例 #1

样例输入 #1

1 99

样例输出 #1

9 20 20 20 20 20 20 20 20 20

提示

数据规模与约定

• 对于 $30\%$ 的数据，保证 $a\le b\le 10^6$；
• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le a\le b\le 10^{12}$。

从取值范围就可以看出，暴力绝对不可能完成。
先考虑一个较为简单的问题，如果区间为 $[0,\underset{i}{9\dots 9}](1\le i\le 11)$，我们如何计算其中 $3$ 出现的次数？

• $0\sim 9$ 中，只有 $3$ 出现 $1$ 次；
• $0\sim 99$ 中，个位出现 $10$ 次，分别是 $3,13,23,33,43,53,63,73,83,93$，十位出现也是 $10$ 次，为 $30\sim 39$，共 $20$ 次；
• $0\sim 999$ 中，个位出现 $100$ 次，十位出现 $100$ 次，百位出现 $100$ 次，共 $300$ 次；
• $0\sim \underset{i}{9\dots 9}$ 中，枚举每一位为 $3$ 时，其余位均可从 $0\sim 9$ 取值，共 $10^{i-1}$ 种取法，因此共出现 $i\cdot 10^{i-1}$ 次。

如果就是按位统计，直接通过组合数学的方法即可计算得出结果。
那么，如果最高位只是普通值应该怎么办呢？
以 $0\sim 512$ 中 $3$ 的出现次数为例，可以先对百位的 $0\sim 4$ 进行枚举。
整百的数里，不算百位，$3$ 均出现 $20$ 次；百位的 $3$ 出现 $100$ 次；这样就统计完了 $0\sim 499$，问题变为 $500\sim 512$ 的子问题……
通常数位DP可以考虑两种方法：迭代和记忆化递归。这两种方式模板性都非常强，需要记住。

迭代

#include 
const int N = 15;
using LL = long long;
LL f[N], cnta[N], cntb[N], ten[N];
int a[N];
// 求出 1~n的所有数中，各个数字出现的次数，存入cnt
void calc(LL n, LL cnt[]) {
    LL t = n, len = 0;
    while (t) a[++len] = t % 10, t /= 10;
    for (int i = len; i; --i) {
    	// 记录每个数字在前i-1位中出现的次数
        for (int j = 0; j <= 9; ++j)
            cnt[j] += f[i-1] * a[i];
        // 记录第i位上每个数字出现的次数，除 a[i]以外
        for (int j = 0; j < a[i]; ++j)
            cnt[j] += ten[i-1];
        // 去掉 n 的最高位a[i]，然后，累加最高位a[i]出现了 n+1 次
        n -= ten[i-1] * a[i], cnt[a[i]] += n + 1;
        cnt[0] -= ten[i-1];
    }
}
int main() {
    LL a, b;
    scanf("%lld%lld", &a, &b);
    ten[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 12; ++i) {
        f[i] = i * ten[i-1];
        ten[i] = ten[i-1] * 10;
    }
    // 由a-1可知，a 最小应该是 1
    calc(a-1, cnta), calc(b, cntb);
    for (int i = 0; i < 10; ++i)
        printf("%lld ", cntb[i] - cnta[i]);
}

记忆化递归

// pos指当前搜到哪一位，当pos=0时，就返回当前搜到的值
// lead表示当前是不是有前导0的，有即为true
// limit表示当前搜索的这一位有没有限制，即不能超过原数这一数位上的数字，1表示有限制，0表示没有
// s表示当前已经统计了多少要查找的数字d
// d表示当前查找的数字是什么
// f[pos][s]表示在当前pos位已经出现了s个d的情况下，右面所有位中d的出现次数
#include 
typedef long long LL;
LL f[17][17], dig[17], d;
LL dfs(int pos, LL s, bool lead, bool limit) {
    if (!pos) return s;
    if (!limit && !lead && f[pos][s]) return f[pos][s];
    int end = limit ? dig[pos] : 9;
    LL ans = 0;
    for (int i = 0; i <= end; ++i)
        ans += dfs(pos-1, s+((!lead||i) && (i==d)), lead&&!i, limit && i==end);
    if (!limit && !lead) f[pos][s] = ans;
    return ans;
}
LL calc(LL x) {
    int cnt = 0;
    while (x) dig[++cnt] = x % 10, x /= 10;
    return dfs(cnt, 0, true, true);
}
int main() {
    LL a, b;
    scanf("%lld%lld", &a, &b);
    for (int i = 0; i <= 9; ++i)
        d = i, printf("%lld ", calc(b) - calc(a-1));
    return 0;
}