希尔伯特变换、解析信号与复包络

• 实信号具有对称的双边谱，为了简化信号和系统的分析，通常采用具有单边频谱的复信号。
• 将实信号表示为复信号，也称为（复）解析信号，有希尔伯特变换表示法和指数表示法两种方法。

【1. 希尔伯特变换表示法 】

• 一般地，复信号可表示为
  $$s(t)=x(t)+\text{j}y(t)$$
• 若实信号 $x(t)\leftrightharpoons X(f)$，X(f)为实信号 x(t) 的傅里叶变换，则定义复解析信号为
  $$s_{{}_a}(t)⟺{\mathrm{S}}_{{}_a}(f)=2X(f)\cdot U(f)=\{\begin{array}{ll}2X(f)& ,f\ge 0\\ 0& ,f<0\end{array}$$
  其中 U(f) 为频域的阶跃函数。
• 利用傅里叶变换的性质，可得
  $$\begin{array}{rl}{s}_a(t)& =2(\frac{1}{2}\delta (t)-\frac{1}{\text{j}2\pi t})ⓧx(t)\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\left(\tau \right)\delta \left(t-\tau \right)\mathrm{d}\tau -\frac{1}{j\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{x(\tau )}{t-\tau }d\tau \\ & =x(t)+jx(t)\end{array}$$
  其中，$x(t)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{x(\tau )}{t-\tau }d\tau$ 为 x(t) 的 Hilbert 希尔伯特变换式 。
• 这样解析信号的频谱就满足了：负频分量为0，正频分量为原实信号的两倍 。
  $$实信号的能量：E={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2\left(t\right)\mathrm{d}t={\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|X\left(f\right)\right|}^2\mathrm{d}f$$
  $$复信号的能量：E_a={\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|s_a\left(t\right)\right|}^2\mathrm{d}t=2{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2\left(t\right)\mathrm{d}t=2E$$

【 2. 指数表示法 】

• 复解析信号在推导信号的一般特性时是有效的表示方式，但在分析具体信号时又极不方便，故常采用指数形式的复信号来代替复解析信号。
• 实信号用指数形式的复信号实部表示为
  $$x(t)=a(t)\cos (2\pi f_{0}t+{\phi }_x(t))=\mathrm{Re}\left[s_a(t)\right]=\frac{1}{2}\left[s_a(t)+s_a^{\ast }(t)\right]$$
• 复解析信号可表示为
  $$s_{{}_{\mathrm{a}}}\left(t\right)=a\left(t\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\left[2\pi f_{0}t+{\phi }_x(t)\right]}=u\left(t\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi f_{0}t}$$
  其中，$u(t)=a(t){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\psi }_x(t)}$ 为信号的 复包络 。