日更19｜芝诺的悖论怎么破？

芝诺是古希腊著名的数学家和哲学家，生活于公元前490年前。是巴门尼德的学生。他没有什么著作，却因为出现在亚里士多德的著作中而出名。亚里士多德想要探讨和反驳的是芝诺提出的几个悖论。

其中一个悖论是关于阿基里斯追乌龟的故事。阿基里斯是古希腊神话中著名的飞毛腿。但芝诺说如果他跟乌龟赛跑，只要乌龟先跑出去一程，阿基里斯就永远追不上了。为什么呢？

飞毛腿与乌龟赛跑

假设阿基里斯的速度是乌龟的10倍（实际上远远不止）。乌龟先跑10米。那阿基里斯追上10米的时候，乌龟又往前跑了1米。当阿基里斯追上这1米时，乌龟又往前跑了0.1米。以此类推。每次阿基里斯追上上一个距离时，乌龟就会往前再跑一点。虽然乌龟和阿基里斯的距离在不断缩短，但永远都追不上。

这个结论听起来很别扭。按我们的经验，阿基里斯迈几个大腿就超过乌龟的。追不上乌龟的这个推断逻辑有什么问题吗？

亚里士多德说，芝诺只是对空间（或距离）进行了无穷分割，其实时间也可以如此分割。只要对时间和空间作同样的无穷分割，用有限时间中分割出的无穷多个时间片段就可以走完有限空间分割出来的无穷多的两两路径。

亚里士多德还指出，芝诺混淆了“无穷”的含义。无论对空间、时间还是其他连续之物，无穷有两种不同的意思：一种是分割意义上的无穷，相当于项数无穷；一种是延伸意义上的无穷，相当于结果无穷。打个比方，一块饼干可以切成无穷多个小块，小小块，小小小块……，但不能说这些小块加在一起就是无穷大，它们加在一起还是一块饼干。

后来的数学微积分，有了无穷小和极限的概念，对芝诺悖论有了进一步的说明，无限分割后的时间或者空间的总和可以是有限的。阿基里斯能在什么时候追上乌龟的距离，那就是在11米多时就能追上。数列是收敛的，总和是10+1+1/10+1/100+1/1000+.....=100/9

用方程式也可以解答这个问题。假设乌龟的速度是1米/m,阿基里斯的速度就是10米/m。假设阿基里斯需要t时间才能追上乌龟，方程式如下：10+t=10t，那么t=10/9m，距离就是10t=10/9*10=100/9

好烧脑。大中午烧死了若干脑细胞。