HDU 1850 Being a Good Boy in Spring Festival

分析：

      首先假设先手的人有必赢策略。

            问题则转化为=>在任意一堆拿任意K张牌，并且所有堆的nim-sum=0(P-position)的方案总数。

                        现在我们先看一个例子(5,7,9)，并假设从第一堆取任意K张牌。

                              排除第一堆牌的nim-sum为 7^9=14

                                            0111

                                          ^1001

                                          -------

                                            1110

                              如果要使所有堆的nim-sum=0成立，则第一堆取掉K张以后必定为1110，因为X^X=0。

                              所以要观察 5-k=14 k>0 成立,此例子(在第一堆取任意K张牌)明显的不成立。但并不代表在第二或第三堆取任意K张牌的解不成立。

                        现在看第二个例子(15,7,9)，并假设从第一堆取任意K张牌。

                              排队第一堆牌的nim-sum为7^9=14，和第一个例子相同，所以问题变为观察 15-k=14 k>0 是否成立。

                              当然这个例子是成立的。

                        总结得出：

                              在任意一堆拿任意K张牌，并且所有堆的nim-sum=0 成立的条件为：排除取掉K张牌的那一堆的nim-sum必须少于该堆牌上的数量(例子二)，否则不能在此堆上取任意K张牌使所有堆的nim-sum=0成立(例子一)。

            故总方案数为 (在任意一堆拿任意K张牌，并且所有堆的nim-sum=0 成立) 的总数。

      现在分析先手的人没有必赢策略。

            因为没有必赢策略，所以a1^a2^a3^...^an=0(nim-sum=0)，一定不存在某个合法的移动，将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。因为异或运算满足消去率，由a1^a2^...^an=a1^a2^...^ai'^...^an可以得到ai=ai'。所以将ai改变成ai'不是一个合法的移动。

 

分析完之后看代码容易明白了，PS:代码不是我的，是参考别人代码得出上述分析的。

附上 Thomas S.Ferguson 的PDF: Game Theory

      博弈论

 

Code
#include <iostream>   
using namespace std;   
int main()   
{   
    int m,n,k,j,i,t;   
    int a[102];   
    while (scanf("%d",&n)!=EOF,n)   
    {   
        int ans = 0;   
        for (i=0;i<n;i++)   
        {   
            scanf("%d",&a[i]);   
            ans = ans^a[i];   
        }   
        //-----------------------------------   
        int counter= 0;   
        for (i=0;i<n;i++)   
        {   
            if (i == 0)   
            {   
                ans = ans^a[i];   
            }   
            else  
            {   
                ans = ans^a[i-1];   
                ans = ans^a[i];   
            }   
            if (ans < a[i])   
            {   
                counter++;   
            }   
        }   
        printf("%d\n",counter);   
    }   
    return 0;   
}