A Translation for Quaternion 一篇对四元数的翻译

 

a. 这是一篇讲解四元数原理的论文翻译,原文参见 这里

b. 在此之前在网络上找过很多资料,但基本都是结论性的介绍,并未对”为什么“进行深入全面的解释。因此在看完本文并消化理解了以后,我决定将其翻译出来,一方面作为知识总结,一方面为相似境遇的朋友提供帮助。

c. 但并不是说这篇翻译就没什么错误。尤其是在介绍四元数历史的那节,由于缺少必要的数学涵养,我不自信是否翻得正确,还请各位朋友帮忙校准。另外由于英文水准有限,许多地方翻得比较生硬,望请诸位海涵。

d. 文中: ... ) 的部分,是我根据上下文自己进行的推理,不代表作者观点(实际上作者在那些地方什么都没有说,有时候你得自己推一推才能弄明白)。

e. 由于精力和时间关系,我没有翻译全文,只是节选了重要的章节。但相信已经覆盖了必要的四元数的知识,足以支持你完成一个相机系统(Camera System)

f. 之所以说”足以“,是因为我已经用这些理论写完了一个以四元数为支撑的相机。

g. 从开始有想法对它一探究竟,到一步步实现功能,再到总结性地翻译本文,每晚见缝插针挤出约2小时,总共历时近三个月完成。时间之久,身心俱疲。Snake is Old...

 

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四元数

Ken Shoemake
Department of Computer and Information Science
University of Pennsylvania
Philadelphia, PA 19104

 


概要

凡是图形学所涉及到的数学知识,大多数都有详尽完备的介绍,但四元数却是一个例外。本文因此而写。这篇教程介绍了诸如“什么是四元数”、“为何它如此有用”、“怎么用、用在哪里”,以及“使用时机”等话题。

 

 

介绍

在图形学领域,四元数一般用来表达旋转和朝向的概念。在1985年的SIGGRAPH会议上,四元数曲线(quaternion curve) 方法第一次被引入到图形学中,意图使旋转动画(rotation animation)计算变得更加方便。虽然这只是一个相当特殊的案例,但由于四元数出色的表现,令它无论与主流的矩阵表示法相比,还是与小众的欧拉角(Euler angles)表示法相比,都不输分毫。 

 

四元数由此声名大噪,开始作为一种新技术被应用到曲线方法以及众多领域中,如基于物理的建模技术,约束系统(constraint system)以及用户界面(user interface)上。四元数之所以能被广泛应用,是因为就实现而言,与其他同类技术相比,它不仅更加简洁,成本更低,而且更加优雅。不过,研究者和开发者想要掌握它,必须要学习一些新的数学知识,但一般的数学课或者科学课程却都不教授四元数。总之不管怎么说,无论是站在齐次坐标(homogeneous coordinates)的角度看,还是从一个更宽泛的角度看,四元数都不单单是我们所熟知的四维齐次坐标(four-component homogeneous coordinates)的复杂升级版本。

 

 

四元数定义

四元数有好几种定义的方式,这些方式的形态也许有所不同,但实质却彼此等价。了解这些形态是必要的,因为每一种形态对我们都非常有用。历史上, Hamilton首次将四元数定义为形如广义复数的形式: w+ix+jy+kz , 其中,i2 = j2 = k2 = -1, ij = k = -ji ,并且,i,j,k为虚数,而w,x,y,z为实数,(数学家为了纪念Hamilton,用H表示四元数)。四元数的运算中有一个非常特例:乘法的不可交换性。其余的运算性质则与实数的大同小异。Hamilton就曾意识到可以用这种“相似性”来抽象四元数的特性,具体说就是将四元数简单地看作一个由四个实数组成的集合[x, y, z, w],并适当地为其定义加法和乘法。然而适逢当时复数的出现,Hamilton就将(x,y,z)“打包”成虚部(Imaginary part),并以术语“向量”(vector)称之,而实数部分(Real part)他就称为“标量”(scalar)。随后的研究者们(主要是Gibbs)直接借用了Hamilton发明的这些术语,并从四元数那脏兮兮、但却很常规的运算法则中提炼出一套更“干净”的法则(extracted from the clean operations of quaternion arithmetic the somewhat messierÑbut more generalÑoperations of vector arithmetic):即现在的教学课程里都会教授的点积(dot products)与叉积(cross products)运算。对今天的我们而言,我们可以很容易逆观历史,用现代的点积、叉积等概念来描述当时的四元数。

基于以上观点,我们现在来给出一些事实:首先我们一般会这样定义四元数:[v, w], 其中v是一个向量且等于(x, y, z),  而w是一个实数。假设一个实数s, 如果用四元数形式描述的话,它就等于[0, s],而一个纯向量v,如果用四元数描述的话,则是[v,0]。 接下来我们给出四元数的一些基本运算法则:

 

A Translation for Quaternion 一篇对四元数的翻译

  

注意 N(q)是一个标量,所以q的倒数定义很清晰(so the description of q-1 is well-defined)。另外,乘法的不可交换性导致了一些运算需要换用更加清晰的形式来表达( Otherwise, the non-commutativity of multiplication requires explicit expressions),例如要用 pq-1 来代替  p/q。
 
上面列出的运算公式中,即有运算本身的定义,也有由定义推导得出的结论。试着将这些结论当作定理推导一番是很有用的,而且不难:每一个证明应该都可以直截了当地计算出来。

  

 

用四元数表示旋转

四元数和三维空间内的旋转关系可以用定理1进行阐述。

定理1:令p为三维(投影)空间内的一个点,用齐次坐标将其表示成四元数的形式即为: p = (x:y:z:w) = [(x, y, z), w] = [v, w] ; 令q为任一非零四元数。那么:

  • 结论1)  表达式 qpq-1的结果将使p=[v, w]变换到p`=[v`, w], 二者模长相等。
  • 结论2)  任何非零实数与q相乘,上式仍然成立。
  • 结论3)  如果上式中的q为N(q) = 1(即q为单位四元数),那么q = [ v sinΩ , cos Ω ] 表示一个旋转动作:将p沿着单位轴v 旋转2Ω即得到p'。 

 

证明:让我们先从结论2入手。这个结论很容易证明。由于sq的倒数是q-1s-1, 且注意标量的乘法满足交换律,所以我们可以得到:

(sq)·p·(sq)-1 = sq·p·q-1s-1 = qpq-1ss-1 = qpq-1 

 

根据这条结论,我们就可以把这个q直接当作一个单位四元数来看,正如 结论3里所需要的那样,而又不失一般性。对于单位四元数q, 由于q-1 = q* ,所以我们可以将 qpq-1写作 qpq*

 

现在来证明结论1就简单多了。一般来说,对一个标量进行一些变换,其结果往往仍是一个标量;类似地,对一个向量[v, 0]进行一系列变换,其结果仍是一个向量。对于任何一个四元数q,其标量部分(即实部) S(q) 可以用公式2S(q) = q + q* 提取出来。于是我们可以得到这列等式:

2S(qpq*)= (qpq*) + (qpq*)* = qpq* + qp*q*

 

由于四元数的乘法遵循线性规律,我们可以将公因式提出,得到:

q(p+p*)q* = q(2S(p))q* = 2S(p)[注1]

 

又由于四元数乘法也作用于模长(Because multiplication preserves norms,),得到N(p) = N(p')[注2]; 同时因为w没有改变,因此可得N(v) = N(v')。

(

注1:  由于2S(p)为标量,我们可以把它放到前面,得2S(p)qq*。又因为结论2已经告诉我们,在q[***]q*这种类型的式子中,q是不是单位四元数都是不影响结果的。因此我们可以将其视作一个单位四元数,这样便有q* = q-1, 因此2S(p)qq* 2S(p)qq-1 = 2S(p) 。

注2:  所谓“Because multiplication preserves norms”,我想可以这样理解:因为p' = qpq*而因为乘法保留模长,同时我们已把q看作为单位四元数(意味着N(q)=N(q*)=1),因此有N(p') = N(p)。 再注意到上面刚刚证明了2S(p') = 2S(p),即意味着w部相同。两个四元数模长相等,其实部又相等,可以不难得到其虚部模长也相等,即N(v) = N(v')。


最后我们来证明结论3 —— 该定理最核心的部分。考虑下图中的情形,图中N(v0) = N(v1) = 1 。 我们定义一个四元数q = v1v0* = [v0 × v1, v0 · v1][注3] 。我们再定义Ω为v0到v1之间的角度, 所以v0·v1 = cosΩ 。我们再在两向量的叉积方向上再设置一个单位向量 v = (v0 × v1) /v0 × v1‖, 该单位向量同时垂直于v0 和v1。现在我们可以将q 写成 [ v sinΩ, cosΩ][注4] (我们应该假设v1 ≠ ±v0, 否则 q =+ 1, 如此这个旋转动作是无效的)(We shall assume v1 ± v0, else q = ±1, and the action is the identity)。

 

A Translation for Quaternion 一篇对四元数的翻译


(

注3:  这里解释一下为什么 v1v0* = [v0 × v1, v0 · v1]。 根据前面列出的关于四元数的basic facts,我们知道而v0*= [v0, 0]= [-v0, 0] = -v0 。同时还知道vv' = [v×v', -v·v'] ,这里令v = v1, v' = v0*。 因此得到v1v0* = (-1)v1v0 =  (-1[v1 × v0, -v1 · v0] = [v0 × v1, v0 · v1] 。 

注4:  这里解释一下为什么q可以写成 [ v sinΩ, cosΩ]. 至此,我们已经知道q = v1v0*[v0 × v1, v0 · v1] 。 很明显v0 · v1 =  cosΩ 。 而又有  v0 × v1 = v · v0 × v1‖。 v0 × v1‖是向量积v0 × v1的模长,根据向量积的求模共识,我们有 v0 × v1‖ = ‖v0‖v1sinΩ,  因为v0、v1皆为单位向量,所以v0 × v1‖ = sinΩ 。 因此 q = v sinΩ, cosΩ]  

)

现在我们引入v2, 令v2 = qv0q*。 

我们可以推导出,v2v1* = (qv0q*) v1* 拥有与v1v0*一样的结构(内积与外积都相等);因此v2 = qv0q* 与v0v1都共同位于同一个平面内,且v2v1的夹角也为Ω。

 

下面是推导过程: 首先用q = v1v0* (qv0q*) v1* 中q*的替换,得到(qv0(v1v0*)*)v1*,进一步简化得到q(v0v0)(v1*v1*)。因为v0v1是单位向量,所以它们的平方等于-1[注5],这样就只剩下了q。

(

注5: 解释下为什么 v0v0 = v1*v1* = -1 。假设v是单位向量,同时注意v叉乘自己的结果是0向量,所以vv = [v×v, -v·v] = [0, -1]。 

)

 

用等式可以描述为:

(qv0q*)v1*  =   (qv0(v1v0*)*)v1*
                    =   qv0(v0v1*)v1*
                    =   q(v0v0)(v1*v1*)
                    =    q(-1)(-1)
                    =   v1v0*


 

所以我们证明了v2v1* v1v0* 的确是相等的,也同时说明了上图中的描述也是准确的。我们还可以进一步证明,假如那里有个v3 = qv1q*的话,由于q = v1v0* =》v1 = qv0,我们可以推导出 ,q作用于v1 后得到的v3,也仍然与v0,v1,v2在同一个平面上,且据v2的夹角也为Ω。因为:
 

v3v2*  =  (qv1q*) (qv0q*)* 
            =  (q(qv0)q*) (qv0q*)*
            =  q(qv0q*)(qv0q*)*
            =  q

 

联系到我们的定理,我们可以得知,作用在v0以及v1上的四元数q,都是将其绕轴v 旋转2Ω。事实上,这个四元数可以被应用到任意向量p中(而非仅仅v0或者v1),因为任意向量p都可以表示为s0v0+s1v1+s2v。四元数的线性性允许我们独立地检验v0v1 以及v 。(注:意思是只要它们分别成立了,其线性结合的结果也同样成立)。

 

当然,虽然我们已经证明了q作用于v0以及v1是成立的,但仍需证明对v也是成立的,这样才能证明对任意p有效。现在我们来思考对v的证明。通过观察我们得知,四元数的乘法之所以不满足交换律,就是因为叉积不满足交换律的原因。但在乘积qv = [v sinΩ, cosΩ][v,0]中,其叉乘的结果为0[注6],所以qv = vq,  进而有qvq* = vqq* = v, 这样也就证明了q对v的作用也是有效的。

(

注6: 联系到 注5我们不难理解为什么 v × v 的结果为0向量。 

)

因此,现在我们就可以理直气壮地说,四元数q= [v sinΩ , cosΩ] 对任意一个向量的作用就是绕着轴v 旋转2Ω了。这就是定理1中结论3的证明。

 

推论:任意一个在三维空间上的旋转,都是一些单位四元数相作用的结果。

证明:利用定理1结论3,我们可以扩展到任意轴和任意角度,从而得到该推论成立。

 

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