定积分的计算(分段积分)

前置知识:分部积分法

分段积分

f f f [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,且 c ∈ ( a , b ) c\in(a,b) c(a,b),则有

∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx

有的时候, c c c不一定在 ( a , b ) (a,b) (a,b)上,但等式仍然成立。

分段积分就是将被积函数分为若干段,分别求积分,再求和。


例题1

计算 ∫ 0 2 π ∣ sin ⁡ x ∣ d x \int_0^{2\pi}|\sin x|dx 02πsinxdx

解:
\qquad 原式 = ∫ 0 π sin ⁡ x d x + ∫ π 2 π − sin ⁡ x d x = − cos ⁡ x ∣ 0 π + cos ⁡ x ∣ π 2 π = 4 =\int_0^{\pi}\sin xdx+\int_{\pi}^{2\pi}-\sin xdx=-\cos x\bigg\vert_0^{\pi}+\cos x\bigg\vert_{\pi}^{2\pi}=4 =0πsinxdx+π2πsinxdx=cosx 0π+cosx π2π=4


例题2

已知 f ( x ) = { e x , x ≤ 0 2 x + 2 , x > 0 f(x)=\begin{cases} e^x,\quad x\leq 0\\ 2x+2, \quad x>0 \end{cases} f(x)={ex,x02x+2,x>0,求 ∫ − 1 1 f ( x ) d x \int_{-1}^1f(x)dx 11f(x)dx

解:
\qquad 原式 = ∫ 0 1 e x d x + ∫ − 1 0 ( 2 x + 2 ) d x = e x ∣ 0 1 + ( x 2 + 2 x ) ∣ − 1 0 = e − 1 + 1 = e =\int_0^1e^xdx+\int_{-1}^0(2x+2)dx=e^x\bigg\vert_0^1+(x^2+2x)\bigg\vert_{-1}^0=e-1+1=e =01exdx+10(2x+2)dx=ex 01+(x2+2x) 10=e1+1=e

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