定积分的计算（分段积分）

前置知识：分部积分法

分段积分

若$f$在$[a,b]$上连续，且$c\in (a,b)$，则有

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$

有的时候，$c$不一定在$(a,b)$上，但等式仍然成立。

分段积分就是将被积函数分为若干段，分别求积分，再求和。

例题1

计算${\int }_0^{2\pi }|\sin x|dx$

解：
\qquad 原式 = ∫ 0 π sin ⁡ x d x + ∫ π 2 π − sin ⁡ x d x = − cos ⁡ x ∣ 0 π + cos ⁡ x ∣ π 2 π = 4 =\int_0^{\pi}\sin xdx+\int_{\pi}^{2\pi}-\sin xdx=-\cos x\bigg\vert_0^{\pi}+\cos x\bigg\vert_{\pi}^{2\pi}=4 =∫0π​sinxdx+∫π2π​−sinxdx=−cosx ​0π​+cosx ​π2π​=4

例题2

已知$f(x)=\{\begin{array}{l}{e}^x,x\le 0\\ 2x+2,x>0\end{array}$，求${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$

解：
\qquad 原式 = ∫ 0 1 e x d x + ∫ − 1 0 ( 2 x + 2 ) d x = e x ∣ 0 1 + ( x 2 + 2 x ) ∣ − 1 0 = e − 1 + 1 = e =\int_0^1e^xdx+\int_{-1}^0(2x+2)dx=e^x\bigg\vert_0^1+(x^2+2x)\bigg\vert_{-1}^0=e-1+1=e =∫01​exdx+∫−10​(2x+2)dx=ex ​01​+(x2+2x) ​−10​=e−1+1=e