定积分的计算（分段积分）习题

前置知识：定积分的计算（分段积分）

习题1

计算${\int }_{\frac{1}{e}}^e|\ln x|dx$

解：
\qquad 原式 = ∫ 1 e 1 − ln ⁡ x d x + ∫ 1 e ln ⁡ x d x = − ln ⁡ x ∣ 1 e 1 + ln ⁡ x ∣ 1 e = 1 + 1 = 2 =\int_{\frac 1e}^1-\ln xdx+\int_1^e\ln xdx=-\ln x\bigg\vert_{\frac 1e}^1+\ln x\bigg\vert_1^e=1+1=2 =∫e1​1​−lnxdx+∫1e​lnxdx=−lnx ​e1​1​+lnx ​1e​=1+1=2

习题2

已知$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{1+x^2},x\ge 0\\ \\ x{e}^{x^2},x<0\end{array}$，计算${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$

解：
\qquad 原式$={\int }_{-1}^{0}x{e}^{x^2}dx+{\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$

= 1 2 e x 2 ∣ − 1 0 + arctan ⁡ x ∣ 0 1 = 1 2 − e 2 + π 4 \qquad\qquad =\dfrac 12e^{x^2}\bigg\vert_{-1}^0+\arctan x\bigg\vert_0^1=\dfrac 12-\dfrac{e}{2}+\dfrac{\pi}{4} =21​ex2 ​−10​+arctanx ​01​=21​−2e​+4π​

习题3

已知$f(x)=\{\begin{array}{l}1+x^2,x\le 0\\ e^{-x},x>0\end{array}$，计算${\int }_1^{3}f(x-2)dx$

解：
\qquad 原式$={\int }_1^2[1+(x-2{)}^2]dx+{\int }_2^3{e}^{2-x}dx={\int }_1^2(x^2-4x+5)dx+{\int }_2^3{e}^{2-x}dx$

= ( 1 3 x 3 − 2 x 2 + 5 x ) ∣ 1 2 − e 2 − x ∣ 2 3 = 14 3 − 10 3 − 1 e + 1 = 7 3 − 1 e \qquad\qquad =(\dfrac 13x^3-2x^2+5x)\bigg\vert_1^2-e^{2-x}\bigg\vert_2^3=\dfrac{14}{3}-\dfrac{10}{3}-\dfrac 1e+1=\dfrac 73-\dfrac1e =(31​x3−2x2+5x) ​12​−e2−x ​23​=314​−310​−e1​+1=37​−e1​