标量、向量、矩阵与张量

0 引

数与量区别：量是有单位的，数没有。

1 回顾

标量：也称为无向量，通俗的说是只有大小没有方向的量，一个标量就是一个单独的数，一般用小写的的变量名称表示。

向量：  也称为矢量，既有大小也有方向，形象的可以理解为一个箭头。表示方式有很多：代数表示（加粗的小写）、几何表示、坐标表示（例如：a=xi+yj，坐标表示为a=(x，y)  ;  a=ix+jy+kz,坐标表示为a=(x,y,z)）、矩阵表示（列向量）。

矩阵：由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵，通常用加粗的大写字母变量来表示，记作：

2 张量

张量（tensor）理论是数学的一个分支学科，在力学中有重要应用。张量这一术语起源于力学，它最初是用来表示弹性介质中各点应力状态的，后来张量理论发展成为力学和物理学的一个有力的数学工具。张量是对高维的物理量（维数≥2的物理量）进行“量纲分析”的一种工具。

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陈维桓先生的《微分流形初步》一书中的一段话:

张量的概念是 G.Ricci 在19世纪末提出的. G.Ricci 研究张量的目的是为几何性质和物理规律的表达寻求一种在坐标变换下不变的形式. 他所考虑的张量是如同向量的分量那样的数组, 要求它们在坐标变换下服从某种线性变换的规律. 近代的理论已经把张量叙述成向量空间及其对偶空间上的多重线性函数, 但是用分量表示张量仍有它的重要性, 尤其是涉及张量的计算时更是如此.

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上面的解释都比较深奥一点，没有相关方面的知识背景的话，不太好理解。一个简单的理解就是几何代数中定义的张量是基于向量和矩阵的推广，我们可以将标量视为零阶张量，矢量可以被视为一阶张量，矩阵为二阶张量。

以彩色图像为例，可以将任何一张彩色图片表示成三阶张量，三个维度分别是图片的高度、宽度、色彩数据。比如：

图片宽度截取了0-319；高度0-4；每个方格（像素点）代表RGB三原色取值。同样道理，我们可以用四阶张量表示一个包含多张图片的数据集，增加了一个图片编号的维度。

（张量就是按照任意维排列的一堆数字的推广，矩阵是三维张量下的一个二维切面，要找到三维张量下的一个标量，需要三个维度的坐标来定位）

 

 

参考：[1] https://www.jianshu.com/p/abe7515c6c7f

           [2] https://www.zhihu.com/question/20695804/answer/263512021