【连续介质力学】张量场

张量场

张量场表示张量$T(x,t)$在空间$x$和时间$t$中如何变化，将张量场视为可微函数

如果一个张量场不依赖于时间，则此张量场称为定常场，例如$T=T(x)$；相反，如果一个张量场只依赖时间则称为均匀场，就是说$T(t)$在每个位置$x$都有相同的值

张量场可以分类为：标量、向量、二阶张量场等
例如温度场 $T(x,t)$ 就是一个标量场，在时间$t=t_1$中温度的分布如下：

另外，速度场$v(x,t)$是一个向量场，在时间$t=t_1$的速度分布，在每一个点都有一个速度相对应，如下所示：

标量场：
$$\varphi =\varphi (x,t)$$
向量场：
张量表示： $$v=v(x,t)$$
下标表示： $$v_i=v_i(x,t)$$
二阶张量场：
张量表示： $$T=T(x,t)$$
下标表示： $$T_{ij}=T_{ij}(x,t)$$

标量场

定常标量场$\varphi =\varphi (x)$,有连续的值$\frac{\partial \varphi }{\partial x_1},\frac{\partial \varphi }{\partial x_2},\frac{\partial \varphi }{\partial x_3}$。在点$x$的函数值为$\varphi (x)$，在另一个点$x+dx$的函数值为$\varphi (x+dx)$，那么函数$\varphi$的微分定义如下：
$$\begin{gathered} \varphi (x+dx)-\varphi (x)\equiv d\varphi \\ \varphi (x_1+d{x}_1,x_2+d{x}_2,x_3+d{x}_3)-\varphi (x_1,x_2,x_3)\equiv d\varphi \end{gathered}$$

对于任意的连续函数$\varphi (x_1,x_2,x_3)$，$d\varphi$ 与$d{x}_1,d{x}_2,d{x}_3$线性相关，这种线性关系可以以微分的链式法则来给出：
$$d\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial \varphi }{\partial x_2}d{x}_2+\frac{\partial \varphi }{\partial x_3}d{x}_3$$

张量的分量关于$x_i$的导数，可以由以下微分算子表示：
$$\frac{\partial \ast }{\partial x_i}\equiv {\ast }_{,i}$$

梯度

标量场的梯度：
梯度${\nabla }_x\varphi$ 或者$grad\varphi$定义为：

其中，算子${\nabla }_x$叫Nabla符号，将上式表示成笛卡尔坐标基：


所以，${\nabla }_x\varphi$在笛卡尔坐标系中的分量：
$$({\nabla }_x{)}_1\equiv \frac{\partial \varphi }{\partial x_1};({\nabla }_x{)}_2\equiv \frac{\partial \varphi }{\partial x_2};({\nabla }_x{)}_3\equiv \frac{\partial \varphi }{\partial x_3};$$

那么，梯度的分量定义如下：
$${\nabla }_x\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x_1}{\hat{e}}_1+\frac{\partial \varphi }{\partial x_2}{\hat{e}}_2+\frac{\partial \varphi }{\partial x_3}{\hat{e}}_3$$

Nabla符号${\nabla }_x$定义为：
$$\boxed{{\nabla }_x=\frac{\partial }{\partial x_i}{\hat{e}}_i\equiv {\partial }_{,i}{\hat{e}}_i}$$

${\nabla }_{,x}$的几何意义：

• ${\nabla }_x$的方向是垂直于等值面的，例如垂直于等值面$\varphi =const$。${\nabla }_x$的方向指向$\varphi$增长最快的方向
• ${\nabla }_x$的大小是$\varphi$改变的速率，例如$\varphi$的梯度

一个曲面的法向量如下所示：
$$\hat{n}=\frac{{\nabla }_x\varphi }{||{\nabla }_x\varphi ||}$$
曲面$\varphi =const$，为等值面，在所有的点上都有相同的值，所以在等值面上移动函数值不发生改变

向量场$v(x)$的梯度：
$$grad(v)\equiv {\nabla }_{x}v$$
表示成：
$${\nabla }_{x}v=\frac{\partial v_i{\hat{e}}_i}{\partial x_j}⨂{\hat{e}}_j=(v_i{\hat{e}}_i{)}_{,j}⨂{\hat{e}}_j=v_{i,j}{\hat{e}}_i⨂{\hat{e}}_j$$

因此，可以在笛卡尔坐标系中定义一个张量场$(\ast (x,t))$的梯度为：
$$\boxed{{\nabla }_x(\ast )=\frac{\partial \ast }{\partial x_j}⨂{\hat{e}}_j}(在笛卡尔坐标系中的张量场的梯度)$$

二阶张量场的梯度：

二阶张量场$T(x)$的梯度：
$${\nabla }_{x}T=\frac{\partial T_{ij}{\hat{e}}_i⨂{\hat{e}}_j}{\partial x_k}⨂{\hat{e}}_k=T_{ij,k}{\hat{e}}_i⨂{\hat{e}}_j⨂{\hat{e}}_k$$

表示为：
$$({\nabla }_{x}T{)}_{ijk}=T_{ij,k}$$

问题1.41求出函数$f(x_1,x_2)=\cos (x_1)+{\exp }^{x_1{x}_2}$在点$(x_1=0,x_2=1)$ 的梯度

问题1.42 $u(x)$是一个定常场

散度

向量场$v(x)$的散度，标记如下：
$$div(v)\equiv {\nabla }_x\cdot v$$
表示为：
$$div(v)\equiv {\nabla }_x\cdot v={\nabla }_{x}v:1=Tr({\nabla }_{x}v)$$
那么：

笛卡尔坐标系下的算子：
$$\boxed{{\nabla }_x\cdot (\ast )=\frac{\partial (\ast )}{\partial x_k}\cdot {\hat{e}}_k}(笛卡尔坐标系下(\ast )的散度)$$

可以验证，当张量场作用散度时，其秩降低一阶

二阶张量场$T(x)$的散度：

二阶张量场$T$的散度定义为${\nabla }_x\cdot 1={\nabla }_{x}T:1$，得到一个向量：

NOTE：注意了，在处理张量场的梯度和散度时，
例如${\nabla }_{x}v$（向量场的梯度）、${\nabla }_{x}T$(二阶张量场的梯度)、${\nabla }_x\cdot T$（二阶张量场的散度），这不意味着在对向量和张量之间进行张量算子操作，
例如${\nabla }_{x}v\ne ({\nabla }_x)⨂v$，${\nabla }_{x}T\ne ({\nabla }_x)⨂v$以及 ${\nabla }_x\cdot T\ne ({\nabla }_x)\cdot (T)$，等

${\nabla }_x$必须是一个作用在完整张量场的算子，所以张量必须在算子的内部

然而，可以有如下表示：

定义 拉普拉斯算子${\nabla }^2$ 为：

那么，向量场$v$的拉普拉斯向量为：

问题1.43 令$a$和$b$是向量，证明等式${\nabla }_x\cdot (a+b)={\nabla }_x\cdot a+{\nabla }_x\cdot b$成立

问题1.44 求出$({\nabla }_{x}a)\cdot b$

问题1.45 证明以下关系成立

旋度

向量场的旋度：
向量场$v(x)$的旋度：$curl(v)\equiv rot(v)\equiv {\nabla }_x\wedge v$，并且用笛卡尔坐标基表示：
$$\boxed{{\nabla }_x\wedge (\ast )=\frac{\partial }{\partial x_j}{\hat{e}}_j\wedge (\ast )(在笛卡尔坐标系下的张量场的旋度)}$$

指标形式：
$$rot(v)={\nabla }_x\wedge v=\frac{\partial }{\partial x_j}{\hat{e}}_j\wedge v_k{\hat{e}}_k=\frac{\partial v_k}{\partial x_j}{\hat{e}}_j\wedge {\hat{e}}_k=\frac{\partial v_k}{\partial x_j}{ϵ}_{ijk}{\hat{e}}_i={ϵ}_{ijk}{v}_{k,j}{\hat{e}}_i$$

展开：

可以验证，一个向量场梯度的反对称部分，即$({\nabla }_{x}v{)}^{skew}\equiv W$，有如下分量：

其中，$w_1,w_2,w_3$是W的轴向量$w$的分量
所以，结合旋度的定义和反对称矩阵分量，得到：

由于反对称张量和轴向量有以下关系：
$$\boxed{W\cdot a=w\wedge a}$$
所以：
$$W\cdot v=w\wedge v=\frac{1}{2}({\nabla }_x\wedge v)\wedge v$$

我们在问题1.18里证明了反对称张量$(x⨂a{)}^{skew}$的轴向量是$\frac{1}{2}(a\wedge x)$，因此反对称张量$W=({\nabla }_{x}v{)}^{skew}=[(v)⨂{\nabla }_x{]}^{skew}$的轴向量是$\frac{1}{2}({\nabla }_x\wedge v)$

如上所示，旋度描述了向量场的旋转趋势

总结：

• $rot(\lambda a)={\nabla }_x\wedge (\lambda a)=\lambda ({\nabla }_x\wedge a)+({\nabla }_x\lambda \wedge a)$
  ${\nabla }_x\wedge (\lambda a)$的结果是一个向量，分量为：
  
  所以有：$rot(\lambda a)={\nabla }_x\wedge (\lambda a)=\lambda ({\nabla }_x\wedge a)+({\nabla }_x\lambda \wedge a)$

• ${\nabla }_x\wedge (a\wedge b)=({\nabla }_x\cdot b)a-({\nabla }_a\cdot a)b+({\nabla }_{x}a)\cdot b-({\nabla }_{x}b)\cdot a$
  由于有：$(a\wedge b)={ϵ}_{kij}{a}_i{b}_j$，因此：
  
  并且有：${ϵ}_{kij}={ϵ}_{ijk}$且${ϵ}_{ijk}{ϵ}_{lpk}={\delta }_{il}{\delta }_{jp}-{\delta }_{ip{\delta }_{jl}}$，那么：
  
  可以验证：$[({\nabla }_{x}a)\cdot b{]}_l=a_{l,p}{b}_p$，$[({\nabla }_x\cdot a)b{]}_l=a_{p,p}{b}_l$，$[({\nabla }_x\cdot b)a{]}_l=a_l{b}_{p,p}$， $[({\nabla }_{x}b)\cdot a{]}_l=a_p{b}_{l,p}$

• ${\nabla }_x\wedge ({\nabla }_x\wedge a)={\nabla }_x({\nabla }_x\cdot a)-{\nabla }_x^{2}a$
  由于：$({\nabla }_x\wedge a{)}_i={ϵ}_{ijk}{a}_k,j$，因此：
  
  考虑：${ϵ}_{qli}{ϵ}_{ijk}={ϵ}_{qli}{ϵ}_{jki}={\delta }_{qj}{\delta }_{lk}-{\delta }_{qk}{\delta }_{lj}$，有：
  
  其中，$[{\nabla }_x({\nabla }_x\cdot a){]}_q=a_{k,kq}$和$[{\nabla }_x^{2}a{]}_q=a_{q,ll}$

• ${\nabla }_x\cdot (\psi {\nabla }_x\cdot a)=\psi {\nabla }_x^2\varphi +({\nabla }_x\psi )\cdot ({\nabla }_x\varphi )$
  
  $\psi$和$\varphi$是标量场，以上等式由以下等式推导而来：
  

将两个等式相减，得：

保守场

一个向量场$b(x,t)$被称为保守的，如果存在一个可导的标量场$\varphi (x,t)$，满足：
$$b={\nabla }_x\varphi$$

如果一个函数$\varphi$满足以上关系，则称$\varphi$是$b(x,t)$的势函数。
$b(x,t)$是保守的的一个不充分条件是${\nabla }_x\wedge b=0$。也就是说，给定一个保守场，其旋度${\nabla }_x\wedge b$等于0。反而，如果一个向量场的旋度为0，不代表这个向量场是保守的

1.46 $\varphi$是一个标量场，$u$是一个向量场，证明${\nabla }_x\cdot ({\nabla }_x\wedge v)=0$以及${\nabla }_x\wedge ({\nabla }_x\varphi )=0$

参考教材：
Eduardo W.V. Chaves， Notes On Continuum Mechanics