Python趣味算法入门 - 百钱百鸡

问题描述

中国古代数学家张邱建在他的《算经》中提出了一个著名的“百钱百鸡问题”：一只公鸡值五钱，一只母鸡值三钱，三只小鸡值一钱，现在要用百钱买百鸡，请问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？

分析

这也是经典问题了，在数学上其实不过就是多元一次方程组。如果用cock代表公鸡的数量，hen代表母鸡，chicken代表小鸡，可列出方程组如下：

如果使用计算机思维，因为数据量小（小于100），完全可以用穷举法，使用三层嵌套循环，从外向内分别代表公鸡、母鸡、小鸡的数量，然后依次判断三者的值是否同时满足上述两个方程。 

因为100钱最多可以买只公鸡，只母鸡，只小鸡，所以这三个变量的上限分别是20、33、300。但同时又不能把钱全部用来买公鸡、母鸡、小鸡——因为数量不对，所以取值分别最多为19、32、297（小鸡的数量要能被3整除）于是可编写代码如下：

for cock in range(20):
    for hen in range(33):
        for chicken in range(298):
            if cock+hen+chicken=100 and 5*cock+3*hen+chicken/3==100:
                print(f"可买{cock}只公鸡，{hen}只母鸡，{chicken}只小鸡"

当然，这只是最基本的计算机思维下的穷举法，如果我们稍微代入一点数学知识，就会发现cock、hen、chicken三者中的任一个都可以由另外两个得到，比如，所以完全用不到三层循环，只要知道cock和hen，就可以根据方程1得到chicken的数量。此外，由于chicken的上限最大（297），消灭chicken的循环将能最大减少循环次数，提高效率，于是，可以修改代码如下：

for cock in range(20):
    for hen in range(33):
        chicken = 100-cock-hen
        if 5*cock+3*hen+chicken/3==100:
            print(f"可买{cock}只公鸡，{hen}只母鸡，{chicken}只小鸡"

得到的答案是一样的，说明程序实现的效果相同，但效率大为提升。

但这还没完。

通过数学思维，我们可以进一步发现，将等式2两边都乘以3，再减去等式1，就可以把变量chicken消去，

得到一个新的等式：

两边再同时除以2，得到：

于是就可以从公鸡的数量得到母鸡的数量：，进而把第二层循环也可以省去了。

同时，观察这个母鸡的等式，右边是公鸡的数量除以4，而常识告诉我们，母鸡的数量必须

1. 是整数
2. 大于0

于是，cock的数量必须是4的整数倍，而且。而cock的数量本身也必须是整数，所以cock的取值范围就是 

因此，我们可以编写代码，仅仅对这个范围的cock数量进行穷举，数量大大减少，0、4、8、12，计算效率大大提高。唯一需要注意的是，因为引入了除法（7/4），得到的结果自动变成浮点型数据，即使能整除，得到的结果显示出来也是x.0的样子。而我们要输出整数，所以这里可以使用int()把计算结果转成整数型，或者，直接使用整除运算符（//）。

for cock in range(0,14,4):
    hen = 25-int(cock*7/4):
    chicken = 100-cock-hen
    if 5*cock+3*hen+chicken/3==100:
        print(f"可买{cock}只公鸡，{hen}只母鸡，{chicken}只小鸡"

输出

可买0只公鸡，25只母鸡，75只小鸡
可买4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡
可买8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡
可买12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡

其实，当我们使用数学知识手动完成上面的计算后，得到的解（公鸡数量0、4、8、12）必然就是合理解了，无需再进行验证，由此可见，在这里使用代码反而显得画蛇添足、多此一举了。这便是计算机思维和数学思维的区别。计算机思维看似简单，但胜在运算速度，而数学思维总是可以更巧妙地找到更快解决问题的办法，有时甚至都不需要用到计算机思维。而我们要做的，就是在面对不同问题的时候，将二者结合起来，取长补短，争取以最高的效率解决问题。