MATLAB 之 绘制三维图形的基本函数、三维曲面和其他三维图形

• 三维图形具有更强的数据表现能力，为此 MATLAB 提供了丰富的函数来绘制三维图形。绘制三维图形与绘制二维图形的方法十分类似，很多都是在二维绘图的基础上扩展而来。

一、绘制三维曲线的基本函数

• 基本的三维图形函数为 plot3，它是将二维绘图函数 plot 的有关功能扩展到三维空间，用来绘制三维曲线。
• plot3 函数与 plot 函数用法十分相似，其调用格式如下：

plot3(x1,y1,z1,选项1,x2,y2,z2,选项2,…,xn,yn,zn,选项n) 

• 其中，每一组 $x、y、z$ 组成一组曲线的坐标参数，选项的定义和 plot 函数相同（线型、颜色和标记符号等参数，详见 MATLAB 之 二维图形绘制的基本函数和辅助操作）。
• 当 $x、y、z$ 是同长度的向量时，则 $x、y、z$ 对应元素构成一条三维曲线。
• 当 $x、y、z$ 是同型矩阵时，则以 $x、y、z$ 对应列元素绘制三维曲线，曲线条数等于矩阵列数。
• 例如，我们绘制空间曲线：$$\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2+z^2=64\\ y+z=0\end{array}$$
• 曲线对应的参数方程为 $$\{\begin{array}{c}x=8\cos t\\ y=4\sqrt{2}\sin t\\ z=-4\sqrt{2}\sin t\end{array}\begin{array}{c},0\le t\le 2\pi \end{array}$$
• 程序如下：

t=0:pi/50:2*pi;
x=8*cos(t);
y=4*sqrt(2)*sin(t);
z=-4*sqrt(2)*sin(t);
plot3(x,y,z,'p');
title('Line in 3-D Space');
text(0,0,0,'origin');
axis ([-10,10,-10,10,-6,6]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
grid;

• 程序运行结果如下图所示。

二、三维曲面

1. 平面网格坐标矩阵的生成

• 绘制 $z=f(x,y)$ 所代表的三维曲面图，先要在 $xy$ 平面选定一矩阵区域，假定矩形区域 $D=[a,b]\times [c,d]$，然后将 $[a,b]$ 在 $x$ 方向分成 $m$ 份，将 $[c,d]$ 在 $y$ 方向分成 $n$ 份。
• 由各划分点分别作平行于两坐标轴的直线，将区域 $D$ 分成 $m\times n$ 个小矩形，生成代表每一个小矩形顶点坐标的平面网格坐标矩阵，最后利用有关函数进行绘图即可。
• 产生平面区域内的网格坐标矩阵有以下两种方法。
• （1） 利用矩阵运算生成。

x=a:dx:b;
y=(c:dy:d)';
X=ones(size(y))*x;
Y=y*ones(size(x));

• 在上述程序段中，矩阵 $X的$ 每一行都是向量 $x$， 行数等于向量 $y$ 的元素的个数，矩阵 $Y$ 的每一列都是向量 $y$，列数等于向量 $x$ 的元素的个数。
• 于是 $X$ 和 $Y$相同位置上的元素 $(X(i,j)，Y(i,j)$ 恰好是区域 $D$ 的 $(i,j)$ 网格点的坐标。若根据每一个网格点上的 $x、y$坐标求函数值 $z$，则得到函数值矩阵 $Z$。
• 显然，$X、Y、Z$ 各列或各行所对应坐标，对应于一条空间曲线，空间曲线的集合组成空间曲面。
• （2） 利用 meshgrid 函数生成。

x=a:dx:b;
y=c:dy:d;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

• 程序段运行后，所得到的网格坐标矩阵 $X、Y$与方法（1）得到的相同。当 $x=y$ 时，meshgrid 函数可写成 meshgrid(x)。
• 为了说明网格坐标矩阵的用法，下面举一个例子， 该例子巧妙地利用网格坐标矩阵来解不定方程。
• 例如，已知 $6<x<30，15<y<36$，我们求不定方程 $2x+5y=126$ 的整数解。
• 程序如下：

x=7:29;
y=16:35;
[x,y]=meshgrid(x,y);  %在[7,29]*[16,35]区域生成网格坐标
z=2*x+5*y;
k=find(z==126);  %找出解的位置
x(k)'  %输出对应位置的x即方程的解
y(k)'  %输出对应位置的y即方程的解

• 程序运行结果如下：

ans =

     8    13    18    23


ans =

    22    20    18    16

• 即方程总共有 4 组解：(8,22)、(13,20)、(18,18)、(23,16)。

2. 绘制三维曲面的函数

• MATLAB 提供了 mesh 函数和 surf 函数来绘制三维曲面图。mesh 函数用于绘制三维网格图。在不需要绘制特别精细的三维曲面图时，可以通过三维网格图来表示三维曲面。surf 函数用于绘制三维曲面图，各线条之间的补面用颜色填充。
• mesh 函数和 surf 函数的调用格式如下：

mesh(x,y,z,c)
surf(x,y,z,c)

• 一般情况下，$x、y、z$ 是同型矩阵。$x、y$ 是网格坐标矩阵，$z$ 是网格点上的高度矩阵，$c$ 称为色标（color scale）矩阵，用于指定曲面的颜色。
• 在默认情况下，系统根据 $c$ 中元素大小的比例关系，把色标数据变换成色图矩阵中对应的颜色。
• 当 $c$ 省略时，MATLAB 认为 $c=z$，亦即颜色的设定正比于图形的高度，这样就可以得出层次分明的三维图形。
• 当 $x、y$ 省略时，把 $z$ 矩阵的列下标当作 $x$ 轴坐标，把 $z$ 矩阵的行下标当作 $y$ 轴坐标，然后绘制三维曲面图。
• 当 $x、y$ 是向量时，要求 $x$ 的长度等于 $z$ 矩阵的列数，$y$ 的长度等于 $z$ 矩阵的行数，$x、y$ 向量元素的组合构成网格点的 $x、y$ 坐标，$z$ 坐标则取自 $z$ 矩阵，然后绘制三维曲面图。
• 例如，我们绘制三维曲面图 $z=\sin y\cos x$。
• 为便于分析各种三维曲面的特征，下面画出了 3 种不同形式的曲面。
• 程序 1 如下：

x=0:0.1:2*pi;
[x,y]=meshgrid(x);
z=sin(y).*cos(x);
mesh(x,y,z);
xlabel('x-axis');
ylabel('y-axis');
zlabel('z-axis');
title('mesh');

• 程序 1 运行结果如下图所示。

• 程序 2 如下：

x=0:0.1:2*pi;
[x,y]=meshgrid(x);
z=sin(y).*cos(x);
surf(x,y,z);
xlabel('x-axis');
ylabel('y-axis');
zlabel('z-axis');
title('surf');

• 程序 2 运行结果如下图所示。

• 程序 3 如下：

x=0:0.1:2*pi;
[x, y]=meshgrid(x);
z=sin(y).*cos(x);
plot3(x,y,z);
xlabel('x-axis');
ylabel('y-axis');
zlabel('z-axis');
title('plot3');
grid;

• 程序 3 运行结果如下图所示。

• 网格图（mesh）中线条有颜色，线条间补面无颜色。曲面图（surf）的线条是黑色，线条间补面有颜色。曲面图补面颜色和网格图线条颜色都是沿 $z$ 轴变化的。用 plot3 绘制的三维曲面实际上由三维曲线组合而成。
• 例如，我们绘制两个相互垂直且直径相等相等的圆柱体的相交图形。
• 程序如下：

m=30;
z=1.2*(0:m)/m; 
r=ones(size(z));
theta=(0:m)/m*2*pi;
x1=r'*cos(theta);  %生成第一个圆柱体的坐标矩阵
y1=r'*sin(theta);
z1=z'*ones(1,m+1);
x=(-m:2:m)/m;
x2=x'*ones(1,m+1);  %生成第二个圆柱体的坐标矩阵
y2=r'*cos(theta);
z2=r'*sin(theta);
surf(x1,y1,z1);  %绘制垂直的圆柱体
axis equal;
axis off;
hold on;
surf(x2,y2,z2);  %绘制水平的圆柱体
axis equal;
axis off;
title('两个圆柱体的相交图形');
hold off;

• 程序运行结果如下图所示。

• 例如，我们分析 $z=x^2-2y^2$ 构成的曲面形状及与平面 $z=a$ 的交线。
• 程序如下：

[x,y]=meshgrid(-10:0.2:10);
z1=(x.^2-2*y.^2)+eps;  %第一个曲面坐标
a=input('a= ');
z2=a*ones(size(x));  %第二个曲面坐标
subplot(1,2,1);
mesh(x,y,z1);
hold on;
mesh(x,y,z2);  %分别画出两个曲面
v=[-10,10,-10,10,-100,100];  %第一子图的坐标设置
axis(v);
grid;
hold off;
r0=abs(z1-z2)<=1;  %求两曲面z坐标差小于1的点
xx=r0.*x;
yy=r0.*y;
zz=r0.*z2;  %求这些点上的x、y、z坐标，即交线坐标
subplot(1,2,2);
plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz(r0~=0),'*');  %在第二子图画出交线
axis(v);  %第二子图的坐标设置
grid;

• 程序运行时，如果我们输入 $a=-25$，所得三维曲面图和曲面的交线如下图所示。当我们输入的 $a$ 不同时，曲面的交线就会发生变化。

• 此外，还有两个和 mesh 函数相似的函数，即带等高线的三维网格曲面函数 meshc 和带底座的三维网格曲面函数 meshz。其用法与 mesh 类似，不同的是 meshe 还在 $xy$ 平面上绘制曲面在 $z$ 轴方向的等高线，meshz 还在 $xy$ 平面上绘制曲面的底座。
• 函数 surf 也有两个类似的函数，即具有等高线的曲面函数 surfc 和具有光照效果的曲面函数 surfl。
• 例如，在 $xy$ 平面内选择区域 $[-8,8]\times [-8,8]$ ，我们绘制函数 $$z=\frac{\sin \sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ 的 4 种三维曲面图（墨西哥帽子图形）。
• 程序如下：

[x,y]=meshgrid(-8:0.5:8);
z=sin(sqrt(x.^2+y.^2))./sqrt(x.^2+y.^2+eps);
subplot(2,2,1);
meshc(x,y,z) ;
title('meshc(x,y,z)');
subplot(2,2,2);
meshz(x,y,z);
title('meshz(x,y,z)');
subplot(2,2,3);
surfc(x,y,z);
title('surfc(x,y,z)');
subplot(2,2,4);
surfl(x,y,z);
title('surfl(x,y,z)');

• 程序运行结果如下图所示。

3. 标准三维曲面

• MATLAB 提供了一些的数用 于绘制标准三维曲面，还可以利用这些的数产生相应的绘图数据，常用于三维图形的演示。例如，sphere 函数和 cylinder 函数分别用于绘制三维球面和柱面。
• sphere 函数的调用格式如下：

    [x,y,z]=sphere(n)

• 该函数将产生 $(n+1)\times (n+1)$ 矩阵 $x、y、z$，采用这 3 个矩阵可以绘制出圆心位于原点、半径为 1 的单位球体。若在调用该函数时不带输出参数，则直接绘制所需球面。 $n$ 决定了球面的圆滑程度，其默认值为 20。若 $n$ 值取得较小，则将绘制出多面体表面图。
• cylinder 函数的调用格式如下：

    [x,y,z]=cylinder(R,n)

• 其中，$R$ 是一个向量，存放柱面各个等间隔高度上的半径，$n$ 表示在圆柱圆周上有 $n$ 个间隔点，默认有 20 个间隔点。例如：

>> cylinder(3)

• 将生成一个圆柱。又例如：

>> cylinder([10,0])

• 将生成一个圆锥，而执行下列命令：

>> t=0:pi/100:4*pi;
>> R=sin(t);
>> cylinder(R,30);

• 将生成一个正弦型柱面。另外，生成矩阵的大小与 $R$ 向量的长度及 $n$ 有关。其余用法与 sphere 函数相同。
• MATLAB 还有一个 peaks 函数，称为多峰函数，常用于三维曲面的演示。该函数可以用来生成绘图数据矩阵，矩阵元素由以下函数在矩形区域 $[-3,3]\times [-3,3]$ 的等分网格点上的函数值确定。$$f(x,y)=3(1-x^2)e^{-x^2-(y+1{)}^2}-10(\frac{x}{5}-x^3-y^5)e^{-x^2-y^2}-\frac{1}{3}{e}^{-(x+1{)}^2-y^2}$$
• 例如：

    z=peaks(30);

• 将生成一个 $30\times 30$ 的矩阵 $z$，即分别沿 $x$ 和 $y$ 方向将区间 $[-3,3]$ 等分成 29 份，并计算这些网格点上的函数值。默认的等分数是 48，即 p=peaks 将生成一个 $49\times 49$ 的矩阵 $p$。也可以根据网格坐标矩阵 $x、y$ 重新计算函数矩阵。例如：

>> [x,y]=meshgrid(-5:0.1:5);
>> z=peaks(x,y);

• 生成的数值矩阵可以作为 mesh、surf 等函数的参数而绘制出多峰函数曲面图。另外，若在调用 peaks 函数时不带输出参数，则直接绘制出多峰函数曲面图。
• 例如，我们绘制标准三维曲面图形。
• 程序如下：

t=0:pi/20:2*pi;
[x,y,z]=cylinder(2+sin(t),30);
subplot(1,3,1);
surf(x,y,z);  %生成一个正弦型柱面
axis([-5,5,-5,5,0,1]);
[x,y,z]=sphere;
subplot(1,3,2);
surf(x,y,z);  %生成一个球面
axis equal;
[x,y,z]=peaks(30);
subplot(1,3,3);
meshz(x,y,z);  %生成一个多峰曲面
axis([-5,5,-5,5,-10,10]);

• 程序运行结果如下图所示。

三、其他三维图形

• 在介绍二维图形时，曾提到各种特殊图形，有些还可以以三维形式出现，使用的函数包括 bar3、bar3h、 pie3、 fill3、 scatter3、 stem3 和 quiver3。

1. 三维条形图

• bar3 函数绘制三维条形图，常用格式如下：

    bar3 (y)
    bar3(x,y)

• 在第一种格式中，$y$ 的每个元素对应于一个条形。第二种格式在 $x$ 指定的位置上绘制 $y$ 中元素的条形图。
• bar3h 的用法与 bar3 相同。

2. 三维饼图

• pie3 函数绘制三维饼图，常用格式如下：

    pie3(x,explode)

• 其中 $x$ 为向量，用 $x$ 中的数据绘制一个三维饼图，explode 设置相应的扇形是否偏离整体图形。

3. 三维实心图

• fill3 函数可在三维饼图内绘制出填充过的多边形，常用格式如下：

    fill3(x,y,z,c)

• 其中使用 $x、y、z$ 作为多边形的顶点，而 $c$ 指定了填充的颜色。

4. 三维散点图

• scatter3 函数可在三维空间内绘制散点图，常用格式如下：

    scatter3(x,y,z,c)

• 其中 $x、y、z$ 必须时等长度的向量，而 $c$ 指定了填充的颜色。

5. 三维杆图

• stem3 函数绘制离散序列数据的三维杆图，常用格式如下：

    stem3(z)
    stem3(x,y,z)

• 第一种将数据序列 $z$ 表示为从 $xy$ 平面向上延申的杆图，$x$ 和 $y$ 自动生成。第二种格式在 $x$ 和 $y$ 指定的位置上绘制数据序列 $z$ 的杆图。

6. 三维箭头图

• quiver3 函数绘制三维空间的矢量图，常用格式如下：

    quiver3(x,y,z,u,v,w)

• 其中 $x、y、z、u、v、w$ 必须长度一样，绘制三维矢量图。矢量由 $(u,v,w)$ 决定，所在位置由 $(x,y,z)$ 决定。例如，quiver3(1,2,3,4,5,6) 是以 (1,2,3) 为起点绘制一个矢量，即一个由 (1,2,3) 指向 (4,5,6) 的箭头。
• 例如，我们绘制以下三维图形。
• （1） 绘制魔方阵的三维条形图。
• （2） 已知 $x=[2347,1827,2043,3025]$，绘制三维饼图。
• （3） 用随机的顶点坐标值画出 5 个黄色三角形。
• （4） 以三位杆图形式绘制曲线 $y=\sin x$。
• 整体程序如下：

subplot(2,2,1);
bar3(magic(4));
title('（1）bar3');
subplot(2,2,2);
pie3([2347,1827,2043,3025]);
title('（2）pie3');
a=rand(3,5);
b=rand(3,5);
c=rand(3,5);
subplot(2,2,3);
fill3(a,b,c,'y');
title('（3）fill3');
y=2*sin(0:pi/10:2*pi);
subplot(2,2,4);
stem3(y);
title('（4）stem3');

• 整体程序运行结果如下图所示。

• 除了上面讨论的三维图形外，常用图形还有瀑布图、三维曲面的等高线图。
• 绘制瀑布图用 watrall 函数，它的用法及图形效果与 meshz 函数相似，只是它的网格线是在 $x$ 轴方向出现，具有瀑布效果。等高线图分二维和三维两种形式，分别使用函数 contour 和 contour3 绘制。
• 例如，我们绘制多峰函数的瀑布图和等高线图。
• 程序如下：

subplot(1,2,1);
[X,Y,Z]=peaks(30);
waterfall(X,Y,Z)
xlabel('X-axis');
ylabel('Y-axis');
zlabel('Z-axis');
subplot(1,2,2);
contour3(X,Y,Z,12,'k');  %其中12代表高度的等级数
xlabel('X-axis');
ylabel('Y-axis');
zlabel('Z-axis');

• 程序运行结果如下图所示。