理论力学专题：守恒量的证明

运动积分

在力学系统的运动过程中，描述其状态的 2s 个变量 q_i,\dot{q_i}(i=1,2,⋯) 随时间变化。但是存在关于这些变量的某些函数，其值在运动过程中保持恒定，且仅由初始条件决定，这样的函数称为

广义动量广义速度与哈密顿量

变分法的运算规则

守恒量的证明

• 拉格朗日方程

• 根据运动积分定义能量，动量，角速度

拉格朗日函数的时间均匀性

拉格朗日函数的空间均匀性

拉格朗日函数的空间各向同性

例题

1. 处于重力场中的若干带正点粒子，除重力外，相互之间还有库仑排斥力。基于拉格朗日力学的框架，证明它们的总动量在水平方向上守恒。

 

• 有两个圆形金属板，分别带有等量异号但均匀分布的电荷。将两极板水平放置并使它们 的中心在竖直方向上重合。由于两极板并非无穷大，边界附近电场不会沿竖直方向。考虑若干带正电粒子在如此的电场、重力场，以及相互的库仑排斥力下运动，而且运动区域不受限制（假设不撞上极板）。基于拉格朗日力学的框架，证明粒子总角动量在竖直方向上的分量 Jz守恒。