1.3.1 树与二叉树

1.3.1 树与二叉树

树是非线性结构。具体来说，树是层次结构。日常社会中，层次关系非常普遍，例如，家组谱系，组织机构关系等都是呈现一种层次结构。

1.3.1 树的基本概念

树T是n(n>0)个结点组成的有限集，其中有一个特定的结点R称为T的根，其余结点划分为不相交的子集T1，T2…,Tn。每个子集都是树，称为T的子树。每颗子树的根R1,R2,…Rm称为R的子结点或孩子，R称为R1,R2，‘’‘’‘’‘,Rm.的父亲结点或者双清，R1，R2,…,Rm互称为兄弟结点。树中每一个结点V的子结点个数M称为V的度，度为0的结点称为叶结点，度大于0的结点称为分支结点。

​ 树的定义是一个递归的定义，这是树的固有特性决定的，树结构本身就是一个递归的结构。树的很多应用中都采用递归过程来实现。

1.3.2二叉树

二叉树是一种重要的树形结构，应用面广也是考试中经常出现的考点。

1.二叉树的应以及其主要特性

一颗二叉树T是n(n≥0)个结点组成的有限集，这个集合或为空，或由一个根结点R及两颗不相交的二叉树T1，T2组成T1，T2分别称为T的左子树和右子树，T1，T2的根R1，R2分别称为R的左子结点和右子结点。

二叉树中每个结点的度不大于2.二叉树中左子树与右子树的次序不能颠倒，但都可以存在或者为空，不同的存在状态可以组合称二叉树的5种基本形态，即两颗子树均为空或不为空，或者一颗为空，而另一颗不为空，还有空树。这5种形态。

2.二叉树的顺序存储结构和链式存储结构

1）二叉树的顺序存储结构

若V不是树根，则V的父结点保存在A[(i-1)/2]中

2）二叉树的链式存储结构

采用二叉链表保存二叉树T时，每个结点的结构为

lchild	data	rchild

其中data保存当前结点的值，lchild和rchild分别为指向当前左子结点和右子结点的指针。

typedef struct BinNode{     //二叉树结点类
    ElemType  data ;        //该结点的值
    struct BinNode * lchild; //指向左孩子结点的指针
    struct BinNode * rchild  //指向右孩子结点的指针
}

采用二叉链表保存二叉树T时，叶结点的两个指针域皆为NULL.。对于含n个结点的二叉树T，二叉树表中共有n-1个非空指针域，有n+1个空指针域。

静态链表保存在一堆数组中，数组单元包含三个域；lchild, data 和rchild。

在二叉链表中，查找某个结点的子结点非常方便，但不易查找父结点。为此，为每个结点增加一个指向父结点的指针域，结构定义为

lchild	data	parent	rchild

由此得到三叉链表。根结点的parent域为Null。

三叉链表也可以采用静态链表结构

静态链表保存在一堆数组中，数组单元包含四个域：

lchild	parent	data	rchild

其中data保存二叉树中结点的信息，lchild和rchild分别保存其左子几点及右子结点在数组下标，parent保存结点的父结点在数组中的下标。

3.二叉树的遍历

二叉树的遍历共有4种：先序遍历，中序遍历，后序遍历及层序遍历。

1）先序遍历

先序遍历又称为先根遍历或者前序遍历，过程如下；

如果二叉树T为空则返回，否则

1. 访问根结点；

2. 先序遍历T的左子树；

3. 先序遍历T 的右子树。

   2）中序遍历

   中序遍历又称中根遍历，过程如下；

   如果二叉树T为空则返回，否则

   1. 中序遍历T的左子树；

   2. 访问根结点；

   3. 中序遍历T的右子树；

      3）后序遍历

      后序遍历又称为后根遍历，过程如下；

      如果二叉树T为空则返回，否则

      1. 后序遍历T的左子树；

      2. 后续遍历T的右子树；

      3. 访问根结点。

         给定二叉树的中序遍历序列，再加先序或后序遍历序列，可唯一确定二叉树，可以验证，仅给出一种遍历序列时，不能唯一确定二叉树。仅给出二叉树的先序遍历及后序遍历序列，也不能唯一确定二叉树。

         二叉树的先序遍历，中序遍历及后序遍历即可使用递归方法实现，也可适合非递归方式实现。

         4）层序遍历

         层序遍历的过程如下：

      二叉树T的根结点入队列；
      当队列不空时
      {
      出队列，并输出元素e;
      若e有左子结点l,则l入队列；
      若e有右子结点r,则r入队列；
      }
      

      在层序遍历中，二叉树中的任意两个结点Ui 和Uj,若Ui先于Uj被遍历到，则Ui的子结点先于Uj的子结点被遍历到。

      4.线索二叉树的基本概念和构造

      二叉树的遍历结果得到结点的一个线性序列，在这个序列中，除第一个和最后一个结点外，每个结点都有一个且仅有一个前驱，有一个且仅有一个后继。遍历的过程就是不断寻找结点后继的过程。

      可以利用二叉链表中存在的空指针域指向结点的前驱和后继，得到线索树。对于树中的一个具体结点来说，不同的遍历序列中，它的前驱可能是不同的，后继也可能是不同的。因此，线索树又分为先序线索树，中序线索书及后序线索树。以中序线索树为例，线索树中结点的定义为

      lchild	iTag	data	rTag	rchild

​ iTag ={ 0， lchild域指向结点的左孩子结点

​ 1， lchild域指向结点的中序遍历前驱}

​ rTag = { 0, rchld 域指向结点的右孩子结点。

1. rchild域指向结点的中序遍历后继}

   在中序线索树种寻找结点v 的后序结点时，有以下集中情况；

   （1）若V，rTag = =1 且 V，rchild! = NULL,则v,rchild指向的结点即为V的后续结点。

   （2）若V，rTag = = 1 且 V，rvhild = = NuLL，则v为中序序列的最后一个结点，无后继结点。

   （3）若V， rTag = = 0 且 V，rchild! = NuLL,则v的右子树中序遍历的第一个结点为V 的后继；

   （4）若v,rTag = = 0 且 v,rchild = = NULL,无此种情况出现。

   那么，情况（3）中，右子树中序遍历序列的第一个结点是哪个呢？从右子树的根开始沿 lchild指针向下，找到lchild == NuLL的结点即是。在建立线索树之前，这个空指针还没有指向它的前驱。若已经建立了线索树，则找到V,Ltag = = 1 的结点即是。

   1.3.3树，森林

   1.树的存储结构

   1. 父结点表示法

      父结点表示法有静态实现及动态实现两种。

      静态实现父亲结点表示法时，使用一堆数组保存相关信息。数组的每个单元包括两个域，分别是数据域data及父结点域parent,data域保存结点的信息，parent保存该结点的父节点在数组下标。树根结点的父结点域中保存-1，这是树中唯一没有父结点的结点。多棵树可以同时保存在一个数组中。检查数组中parent域为-1的结点，可知数组保存的树的个数。

      动态实现父结点表示法时，树中结点的定义为

      data	parent

      其中data保存树中结点信息，parent保存指向父结点的指针。

      根结点的parent域为NULL,这是树中唯一的一个空指针。

      2.孩子结点表示法

      树中每个结点的子结点个数差别个数差别可能很大，为了适应每个结点可以有不同数目的子结点的情况，可以使用链表保存子节点的情况。每个结点v1的所有子结点组成一个单链表L，这些链表的表头指针保存在一个数组中。

      3.左孩子右孩子表示法

      使用与二叉链表类似的一种结构，每个结点的结构为

      fchlid	data	nsibling

      其中，data域保存结点的信息，fchild域保存指向该结点第一个孩子的指针，nsibling域保存指向该结点下一个兄弟结点的指针。

      由于每一个结点都含有两个指针域，它很想是用来表示二叉树的二叉树链表结构，所以这种表示法又称为二叉树链表表示法。

      2.森林与二叉树的转换

      树的左孩子右兄弟表示法中，每个结点有两个指针，分别指向当前结点的左子结点及右兄弟结点。可以将这样的结构看作是二叉链表，一个二叉链表即可以解释为一棵树，又可以解释为一棵二叉树。由此在树与二叉树之间建立了关系。二叉树表成为他们相互转换的桥梁。

      若森林转换成二叉树的递归描述如下：

      如果F={T1,T2,‘’‘’‘’',Tn}是森林，则按如下规则将其转换为一颗二叉树B={root,LB,RB};

      • 若F为空，则B为空树

      • 若F非空，则B的根rooot为F中第一颗树T1的根;B的左子树 LB是从T1根据点的子树森林F1={T11，T12，、、、、T1n1}转换而成的二叉树；其右子树RB是从森林F={T2，T3，‘’‘’‘’‘，Tn}转换而成二叉树。

        3.树和森林的遍历

        树的遍历方式有两种，先序遍历和后续遍历。

        树的先序遍历过程；先访问根结点，再依次由左至右对每颗子树进行先序遍历。

        树的后续遍历过程；先依次由左至右对每颗子树进行后序遍历，再访问根结点。

        将树T转换为二叉树B，则树T的后序遍历序列与B的中序遍历序列相同。

        森林的遍历方式右两种：先序遍历和后序遍历。

        1）先序遍历

        先序遍历过程如下；

        如果森林为空则返回，否则

        • 访问森林中第一棵树的根结点

        • 先序遍历第一颗树根结点的子树森林

        • 先序遍历除去第一棵树之外剩余的树组成的森林。

          2)后序遍历

          后序遍历过程如下；

          如果森林为空则返回，否则

          • 后序遍历第一棵树根结点的子树森科；

          • 访问森林中第一棵树的根结点

          • 后序遍历除去第一棵树之外剩余的书组成的森林。

            1.3.4 树与二叉树的应用

            1.二叉排序树

            二叉排序树(BST)或者是一颗空树，或者是具有下列性质的二叉树；

            • 若它的左子树不为空，则左子树中所有结点的值均小于树根结点的值。

            • 若它的右子树不为空，则右子树中所有结点的值均大于等于数根结点的值。

            • 其左右子树也分别是二叉排序树。

              二叉排序树也称为二叉查找树，采用二叉链表结构存储。

              由于二叉排序树的有序性，在树中进行查找的效率较高。查找的对象称为查找目标，若找到称为查找成功；否则称为查找失败。

              二叉排序树各结点中保存的值称为关键字，有那些应用中，要求关键字具有唯一性。

              二叉排序树的每颗子树仍是二叉排序树。每个结点的左子结点的值均小于结点本身的值，其右子结点的值均大于等于结点本身的值。这个条件是其必要条件而非充分条件，换句话说，若一颗二叉树中每个结点左子结点的值小于结点的值，其右子结点的值大于等于结点的值，则树不一定是二叉排序树。

              二叉排序树T中的最小值位于其’‘左下角’，即从根开始沿指针lchild一直“”向下“，直到指针lchild为空的结点。同样，T中的最大值位于其”右下角“，即从根开始沿指针rchild一直”向下“，直到指针rchild为空的结点。

              对二叉排列树进行中序遍历，可得到一个升序序列。这是二叉排序树的特性之一。

              对于一般二叉树来说，仅直到树的先序序列或后序序列，不能唯一确定这棵二叉树。但是具体到二叉排序树，知道其先序序列或是后序序列，均能唯一确定该树，因为其中序序列是隐含给出的。

              • 二序排列树的操作主要有在树中查找关键字key,在树中添加关键字key,删除树中关键字key所在的结点。

                1.在二叉排序树中查找关键字key

                设在二叉排序树T中查找关键字key,如果T为空，查找失败并返回；否则比较树T中根结点的值与key:

                1. 若key=根结点的值，查找成功，返回。

                2. 若key<根结点的值，继续在根结点的左子树LB中继续查找key。

                   否则在根结点的右子树RB中继续查找key。

                   查找失败时意味的查找目标不在当前二叉排序树中。

                   查找过程就是将查找目标与从根到某个叶结点的路径上的结点依次进行比较的过程。 这条路径上参与比较的关键字组成关键字比较序列。查找成功，意味着关键比较序列中的某个结点值与查找目标相等；查找失败，意味着在关键字比较序列中的所有值均不与查找目标相等，直到遇到了空指针。

                   二叉排序树查找过程中，关键字的比较次数不超过树高。在含n个关键字的二叉排序树中进行查找的平均时间复杂度为O（log2n）。

              2）在二叉排序树中添加关键字key。

              3）删除树种关键字key所在的结点。

              （1）删除度为0的结点。

              度为0的结点皆是叶结点，在二叉排序树种删除叶结点V时，将V的结点指向v的指针改为NuLL,其他结点不变，删除结束，得到的仍是一颗正确的二叉树。

              （2）删除度为1的结点。

              （3）删除度为2的结点。

              2.平衡二叉树

              如果给定的初始关键字有序，则得到的二叉排序树退化为线性结构，其树高与结点数相当，查找，插入及删除的时间复杂度均为 O（n）。

              1996年，Adelson-Velskii和E.M.Landis提出了一种二叉树结构，这种二叉树对于各级子树的深度是比较平衡的，称为平衡二叉树，又称AVL树（由两位发现者名字的首字母而得名）。

              平衡二叉树或是一颗空树，或是具有下列性质的二叉排序树；

              （1）根的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过1；

              （2）根的左，右子树都是平衡二叉树。

              平衡二叉树的定义是一个递归定义。根据这一定义，平衡二叉树种每个结点的左，右子树的高度之差只能为0，1和-1这三种情况。将结点左，右子树的高度差定义为该结点的平衡因子，即对树中的每个结点，结点的平衡因子=结点左子树高-右子树高。当出现绝对值大于1的平衡因子时，称树失平衡。

              在二叉排序树的构建过程中，每插入一个关键字后，检查树的平衡情况，若树失平衡，则通过旋转操作使树恢复平衡。

              旋转分为单旋转及双旋转两大类，共4种情况。

              （1）左旋转

              因为根的右孩子的右子树上的长路径而失平衡的树，考研通过左旋转恢复，步骤如下：

              • 令根的右孩子变为新的根。

              • 令原根结点变为新根结点的左孩子。

              • 令原根的右孩子的左孩子变为原根结点的新右孩子。

（2）右旋转

因为根的左孩子的左子树上的长路劲而失衡的树，可以通过右旋转恢复，步骤如下：

• 令根的左孩子变为新的根。

• 令原根结点变为新根结点的右孩子。

• 令原根的左孩子的右孩子变为原根结点的新左孩子。

  3） 右-左旋转

  4）左-右旋转

  3.哈夫曼（Huffman）树和哈夫曼编码

  （1）根据给定的n个权值{w1,w2,‘’‘’‘,wn}(n≥2)构造含n颗二叉树的集合F={T1，T2,’‘’‘’‘‘TN}其中每颗二叉树Ti（1≤i≤n）只有一个根结点，它带有权值Wi(i=1,2’’',n);

  (2) 在F种选出两颗根结点权值最小的二叉树分别作为左右子树，构造一颗心的二叉树，并且置新的二叉树根结点的权值为其左右子树根结点的权值之和。然后从F中删除选出的这两棵树，加入这颗新构成的树；

  （3）重复步骤（2），直到F中只有一棵树时为止，这棵树就是哈夫曼树。

  当全部的二进制编码扫描完毕，编译过程也结束了。在哈夫曼树上进行编码很简单。从向前后逐位扫描编码的每一位，根据编码的值，找到从哈夫曼树的根结点到叶节点的路径。从根结点，开始编码的当前位是0，则沿左分支到下一层，否则沿右分支到下一层。

  哈夫曼树是一颗特殊的树，其中没有度为1的结点。 扫描二维码编译时，不论遇到的是0还是1，都可以保证从当前结点进入到下一层中，除非到达了叶结点。而到达叶结点，表明完成了一个字符的译码。

  哈夫曼编码能够正确进行译码，是因为它具有前瞻性。 那么说明是前瞻性特性呢？这是编码的重要特质。一套编码体系中任何一个字符的编码都不是改体系中另外任何字符编码的前缀，这样的编码具有前缀特性。