【论文阅读公式推导1】连续体机器人的哈密尔顿动力学推导

推导了一下论文哈密尔顿原理的表达，原论文的计算公式是对的，记录一下。

Gravagne I A, Rahn C D, Walker I D. Good vibrations: a vibration damping setpoint controller for continuum robots[C]//Proceedings 2001 ICRA. IEEE International Conference on Robotics and Automation (Cat. No. 01CH37164). IEEE, 2001, 4: 3877-3884.

哈密尔顿原理的公式：

$$\delta {\int }_{t_0}^{t_1}(KE-PE+W_e)dt=0$$

其中$KE$是动能，$PE$是势能，$W_e$是非保守力的功。

如果按照达朗贝尔原理可以把势能$PE$转换为保守力做的功$W_c$。其中势能$PE$变换为功要加个负号。

$$-PE=W_c$$

这样和非保守力做的功$W_e$合并为外力的功$W$。

$$W=W_c+W_e$$

$$\delta {\int }_{t_0}^{t_1}(KE+W)dt=0$$

其中势能$PE$变换为功要加个负号。

求解的过程使用了变分法，参考了叶敏《分析力学》134页关于连续体在哈密顿动力学的应用的例5-5。

求解过程的思路：

1. 要不断分离出变分负号，利用边值条件都为0（等时变分）：

• $\delta y(x,t_0)=\delta y(x,t_1)=0$
• 其导数也是一样的为0。

2. 分离的方法是分部积分法，将变分负号的求导阶数不断降低。如

$$\dot{y}\frac{\partial }{\partial t}(\delta y)=\frac{\partial }{\partial t}(\dot{y}\delta y)-\ddot{y}\delta y$$