图论证明：点连通度小于等于边连通度小于等于最小度

先来引入该证明涉及到的相关概念：

• 最小度：无向图G中度数最小顶点的度数，记作$\kappa (G)$。
• 边连通度：为使图G不连通或成为平凡图，至少需要从G中删除的边的数量称作G的点连通度，记作$\lambda (G)$。
• 点连通度：为使图G不连通或成为平凡图，至少需要从G中删除的顶点数量称作G的点连通度，记作$\lambda (G)$。

定理：对于任意一个图G：

$$\lambda (G)\le \delta (G)\le \kappa (G).$$

证明：先证明$\lambda (G)\le \delta (G)$

（1）G不连通,则有：

$$\lambda (G)=0\le \delta (G)$$

（2）G连通，则有：

存在一点$v$，$deg(v)=\delta (G)$，去掉与v关联的所有边后图$G$即不连通。

故$\lambda (G)\le \delta (G)$。


再证明$\kappa (G)\le \lambda (G)$。

（1）G不连通或者是平凡的：

$$\kappa (G)=\lambda (G)=0$$

（2）G连通而且非平凡：

• G有桥（割边），则有：

  $$\lambda (G)=1$$

  去掉桥的一个端点，则G不连通，即$\kappa (G)=1$。

• G无桥，则有：

  $$\lambda (G)\ge 1$$

  说明去掉$\lambda (G)$条边，该图不连通；对于这些边，最坏情况下去掉每条边的一个顶点（所有边都不存在公共顶点）也可使得该图不连通，即$\kappa (G)\le \lambda (G)$。

  综上，$\lambda (G)\le \delta (G)\le \kappa (G)$。