定积分求含无穷大的式子的和习题

前置知识：定积分求含无穷大的式子的和

习题1

计算$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{1}{3}}+\cdots +n^{\frac{1}{3}}}{n^{\frac{4}{3}}}$

解：
\qquad 原式$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(\frac{i}{n}{)}^{\frac{1}{3}}={\int }_0^1{x}^{\frac{1}{3}}dx$

= 3 4 x 4 3 ∣ 0 1 = 3 4 \qquad\qquad =\dfrac 34x^{\frac 43}\bigg\vert_0^1=\dfrac 34 =43​x34​ ​01​=43​

习题2

计算$\underset{n\to +\infty }{\lim }(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+n})$

解：
\qquad 原式$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{1+\frac{i}{n}}$

$={\int }_1^2\ln xdx=\ln 2$