【数学建模】期末样题（2021年真题）

一、（10分）某乳制品厂计划生产A、B、C三种酸奶。已知生产单位重量的A需要加工设备3小时，原料甲1千克，原料乙0.2千克；生产单位重量的B需要加工设备5小时，原料甲1千克，原料乙0.3千克；生产单位重量的C需要加工设备4小时，原料甲1千克，原料乙0.15千克。已知该工厂现有原料甲400千克，原料乙50千克，设备使用时间1200小时。

1. 若单位重量的A、B、C利润分别为5.5元、10元和6元，该工厂应如何安排生产才能获利最多？请写出该问题的数学模型（不需要求解）。
2. 若单位重量A的利润p 是其产量x 的函数：  , 单位重量B、C的利润分别为10元、6元，该工厂应如何安排生产才能获利最多？请写出该问题的数学模型（不需要求解）。   

二、（10分）某公司需要为客户制作三个宣传片，将开始制作宣传片的日期定为0，截止日期从0开始算起。下表给出每个宣传片所需要的制作周期Pi(i=1,2,3)以及提交的截止日期Di(i=1,2,3)。假设该公司每次只能制作一个宣传片，每个宣传片一旦开始制作需要连续完成（即中间不会插入其他宣传片的制作，也不会同时制作多个宣传片），若提交延迟则公司需要付给客户相应的罚金，每天的罚金Ci(i=1,2,3)如下表。试确定各宣传片开始制作的日期，使得延迟罚金最少。请给出该问题的数学模型及必要的建模说明（不需要求解）。

 

 

三、（12分）

（1）求下面的无向图顶点v 1到其余顶点的最短路。

（2）求下图中的一个极小覆盖集和极大独立集；

 

 

 四、（8分）某地现有四个居民点，具体位置如下图所示，现准备在四个居民点中的设置一银行，问设在哪个点,可使距离最小。

 

五、（10分）某高校准备于2020年暑期组织一次全国高校数学建模竞赛教师研讨会，组织者需要在一家合约酒店给参会者预订房间，每个房间需交200元的预定金（住宿费），若预订房间过多，即使无人入住预定金也不能退回。若预订房间不足，则需为参会教师临时在其他酒店订房，每个房间住宿费400元。按照往年会议的规模估计今年参会人数大致服从均值为300，标准差为25的正态分布。请为组织者确定预订房间的数量（按每人一间），使预期的总住宿费用最低。（列出计算表达式，求解过程可做适当近似计算）

 

六、（10分） 假设有5个销售员X1, X2, X3, X4, X5，他们的销售业绩由二维变量(v1,v2) 表示，数据见下表：

销售员	v1（销售量）/百件	v2（回收款项）/万元
X1	3	2
X2	4	3
X3	2	5
X4	1	1
X5	1	0

利用Block距离来度量点与点之间的距离。使用最长距离法对上述五个销售员进行系统聚类，画出聚类谱系图。注意在解答中展现出必要的聚类过程。

 七、（10分）为了研究家庭收入和家庭消费的关系，通过调查得到如下数据：

 

 

 

 

八、（10分）设变量X1、X2、X3 的协方差矩阵为

5 2 0

2 2 0

0 0 2

（1）作主成分分析，求三个变量的所有主成分及贡献率；

（2）在（1）的基础上作因子分析，求因子载荷阵A,并写出因子分析模型；

（3）计算变量共同度hi ² 及公共因子 Fj 的方差贡献，并说明其统计意义。

 九、(10分) 请利用蛛网模型解释为什么会出现“用工潮”和“民工荒”的循环？

 

十、(10分) 已知方向数据的调查样本如下表

1）求均值

2）求方差

3）求分布函数

4）画圆上直方图