【2022ICPC沈阳I题解】【值域线段树+贪心】The 2022 ICPC Asia Shenyang Regional Contest I. Quartz Collection

链接：I. Quartz Collection

补了一天，网上没找到容易看懂的题解，唯一一篇还是同学的CCSU_LRF，但他丫的又不是个学数据结构的，当初怎么写的不记得了，给我讲晕了。这里重新整理一下思路。

I. Quartz Collection（值域线段树+贪心）

题意

$n$ 种石头，每种石头有两块价值分别为 $a_i,b_i$，只有当第一块被买走才能买第二块，小A先买一块，接下来以小B两块，小A两块的顺序轮流买（形如：$ABBABBA\dots$）， 每种石头每个人只能买一次。
有 $m$ 次更改，每次给出 $t,x,y$，即将第 $t$ 种石头的两块价格分别改为 $x,y$。
若两人都以最优策略进行购买，对于初始情况和 $m$ 次修改后的情况询问小A买齐 $n$ 种石头的最小花费。（每次更改都保留对后面询问都造成影响）

思路

假设对于所有品种最开始小A，小B选择的都是第二块石头，此时的总花费为 $sumb={\sum }_i^n{b}_i$ ，考虑将哪些品种换成第一块石头。
对于 $i$ 号石头，若换成第一块石头，花费将加上 $a_i-b_i$，贪心的想选择的石头 $a_i-b_i$ 越小越好。

分情况讨论
按 $a_i-b_i$ 从小到大排序

1. $a_i-b_i<=0$
   越小越能节约钱 AB 都会尽可能的优先选更小的那么选择就形如 $ABBAABBA\dots$ 于是A能选到的数就是排名为 $i$， $i\mathrm{mod}4=0,3$。

2. $a_i-b_i>0$
   对于这里的数都会是尽可能的避免选择，而不是同样策略选小的。因为若是将第一块石头取走，那么对于另一方来说可以跟着将第二块石头取走，从而避免取第一块造成的亏损。
   （我们可以选情况1的二号石头 或者 情况2的二号石头来避免， 因为情况1的一号石头已经被取完了，二号石头本来就是必取的可以不视作亏损）

   某一方当前次数恰好用完的情况一定是 $ABB/A/ABBAA$ 都是奇数， 而情况1 的一二号石头之和一定是偶数。
   所以对于第1种情况的石头不存在恰好被某一方恰好取完的情况，一定是某一方取完剩下的一块，还有一次机会被迫选第2种情况的排名第一第一块石头， 那么对方会跟着将此时的情况2排名第一的第二块石头取走再去取情况2的排名最靠前的一号石头， 之后轮流进行。
   于是局面变成AB轮流取石头 形如 $ABAB\dots \dots$ 于是A能选到数就是排名为$i$， $i\mathrm{mod}4=0,2或者i\mathrm{mod}4=1,3$，具体要看情况1的最后一块石头是谁拿走的。

对于上述情况我们可以用值域线段树维护 $a_i-b_i$，对于排名取模可以记录在自己之前的数量即偏移量，而修改一种石头造成的改变我们可以看做直接修改偏移量。

最终答案就是：$ans=resl+resr+sumb$。其中
$sumb={\sum }_i^n{b}_i$
$resl$ 为 $a_i-b_i<=0$ 排名取模为 $0,3$的权值和。
$resr$ 为 $a_i-b_i>0$ 排名取模为 $0,2$ 或 $1,3$的权值和。

具体实现见代码

代码

#include 
using namespace std;

#define ls p << 1
#define rs p << 1 | 1
#define ll long long

const int N = 2e5 + 10, inf = 1e5;
int n, m;
struct node{
    int l, r, siz; // 区间内的数的数目， 也可以视为偏移量
    ll sum[4]; // sumi 区间内排名为 i % 4 的数权值之和
}tr[N * 4];

void build(int p, int l, int r){
    tr[p] = {l, r, 0};
    if(l == r) return ;
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(ls, l, mid);
    build(rs, mid + 1, r);
}

void pushup(int p){
    tr[p].siz = tr[ls].siz + tr[rs].siz;
    for(int i = 0; i < 4; i ++) {
        tr[p].sum[i] = tr[ls].sum[i]; // 左区间的直接加上即可
    }
    int lsiz = tr[ls].siz;
    for(int i = 0; i < 4; i ++) {
        tr[p].sum[(lsiz + i) % 4] += tr[rs].sum[i]; // 需要加上左区间的数造成的偏移 
    }
}

void update(int p, int loc, int k) {
    if(tr[p].l == tr[p].r){
    	if(k == 1) tr[p].sum[tr[p].siz % 4] += loc;
    	else tr[p].sum[(tr[p].siz - 1) % 4] -= loc;
        tr[p].siz += k;
        // 错解： tr[p].sum[0] += loc * k; 相同的数也应当要排名
        return ;
    }
    int mid = (tr[p].l + tr[p].r) >> 1;
    if(loc <= mid) update(ls, loc, k);
    else update(rs, loc, k);
    pushup(p);
}

ll a[N], b[N], sumb;
ll query(int p = 1){
    // 对正负数分别查询即可
    ll resl = tr[ls].sum[0] + tr[ls].sum[3], resr = 0;
    if(tr[ls].siz * 2 % 4 == 0) resr = tr[rs].sum[0] + tr[rs].sum[2]; // 判断是谁取完的情况1 ，那么就是谁开始取情况2
    else resr = tr[rs].sum[1] + tr[rs].sum[3];
    return resl + resr + sumb;
}

int main(){
    cin >> n >> m;
    build(1, -inf, inf);
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        cin >> a[i] >> b[i];
        sumb += b[i];
        update(1, a[i] - b[i], 1);
    }
    cout << query() << "\n";

    for(int i = 1; i <= m; i ++){
        int t, ac, bc;
        cin >> t >> ac >> bc;
        update(1, a[t] - b[t], -1);
        update(1, ac - bc, 1);
        sumb = sumb - b[t] + bc;
        b[t] = bc;
        a[t] = ac;
        cout << query() << "\n";
    }
    return 0;
}