10 概率方法

文章目录

  • 10 概率方法
    • 10.1 Ramsey Numbers
      • 10.1.1 Ramsey Numbers是什么?
      • 10.1.2 Ramsey Numbers有什么性质?
    • 10.2 独立集
    • 10.3 Max-Cut
    • 10.4 K-SAT

10 概率方法

概率方法是一种用于证明组合对象存在的方法,例如以下一组案例:

目标:证明对象C存在

定义:存在一些概率空间与随机变量X

证明: P ( X = C ) > 0 P(X = C) > 0 P(X=C)>0

结论:对象C存在

10.1 Ramsey Numbers

10.1.1 Ramsey Numbers是什么?

Ramsey Numbers是一个有两个参数的函数,记为r(m, n)。具体表示为:

  1. 参数m:最少有m个顶点的团
  2. 参数n:n个顶点的独立集
  3. 返回值N:存在一个最小的正整数N,使得对于所有N个顶点的图,都满足下面两个条件之一。
    1. 存在至少有m个顶点的团
    2. 存在至少为n个顶点的独立集

Ramsey Numbers也可以表达为:

  • 若对一个N阶完全图,用两种颜色染色(实际情况下,两种颜色分别表示为边是否存在),一定存在一个大小为m的单色子图,或大小为n的单色子图

10.1.2 Ramsey Numbers有什么性质?

定义1:

  • 第k个Ramsey数,假设其值为N,在N阶完全图上进行双色染色,至少有 C k 2 C_k^2 Ck2条边的颜色相同

定理1:

  • 第k个Ramsey数, R k ∈ ( 2 k / 2 , 2 2 k ) R_k \in \left( 2^{k/2}, 2^{2k} \right) Rk(2k/2,22k)

证明待补

10.2 独立集

独立集的定义:

  • 一张图中,选出顶点的子集,若任意两点之间没有边,则为独立集。

定理1:

  • 假设顶点的集合为 V V V,边的集合为 E E E
  • 当满足 ∣ V ∣ = n |V| = n V=n ∣ E ∣ = m |E| = m E=m m ≥ n 2 m \geq \frac{n}{2} m2n时,有结论: ∣ 独立集 ∣ ≥ n 2 4 m |独立集| \geq \frac{n^2}{4m} 独立集4mn2

10.3 Max-Cut

Max-Cut定义:

  • 在图 G = ( V , E ) G=(V, E) G=(V,E)中,通过切割将该图分为A、B两部分,所需要切开的最多的边数

随机算法解决方案:

  • 将每个顶点随机分配到A、B桶中
  • 对于边 ( u , v ) (u, v) (u,v),若 u u u v v v不在同一个同中,切开这条边

去随机化解决方案(迭代贪心):

  • 通过 ( v 1 , … , v t − 1 ) (v_1, \dots, v_{t-1}) (v1,,vt1)个顶点的分配,将 v t v_t vt分配到一个合适的桶中
  • 合适的桶条件为:放在最大切割期望的桶中
  • 最大的切割期望求解方法为:

10.4 K-SAT

什么是K-SAT问题:

  • 有N个物品,每个物品有K个状态,在给出限制条件的情况下,问有无可行解。

去随机化解决方案:

  • 和Max-Cut一样,通过前t个物品的状态分配,选择一个最合适的状态进行分配。

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