10 概率方法

10 概率方法

概率方法是一种用于证明组合对象存在的方法，例如以下一组案例：

目标：证明对象C存在

定义：存在一些概率空间与随机变量X

证明：$P(X=C)>0$

结论：对象C存在

10.1 Ramsey Numbers

10.1.1 Ramsey Numbers是什么？

Ramsey Numbers是一个有两个参数的函数，记为r(m, n)。具体表示为：

1. 参数m：最少有m个顶点的团
2. 参数n：n个顶点的独立集
3. 返回值N：存在一个最小的正整数N，使得对于所有N个顶点的图，都满足下面两个条件之一。
   1. 存在至少有m个顶点的团
   2. 存在至少为n个顶点的独立集

Ramsey Numbers也可以表达为：

• 若对一个N阶完全图，用两种颜色染色（实际情况下，两种颜色分别表示为边是否存在），一定存在一个大小为m的单色子图，或大小为n的单色子图

10.1.2 Ramsey Numbers有什么性质？

定义1:

• 第k个Ramsey数，假设其值为N，在N阶完全图上进行双色染色，至少有$C_k^2$条边的颜色相同

定理1:

• 第k个Ramsey数，$R_k\in \left(2^{k/2},2^{2k}\right)$

证明待补

10.2 独立集

独立集的定义：

• 一张图中，选出顶点的子集，若任意两点之间没有边，则为独立集。

定理1:

• 假设顶点的集合为$V$，边的集合为$E$
• 当满足$|V|=n$，$|E|=m$， $m\ge \frac{n}{2}$时，有结论：$|独立集|\ge \frac{n^2}{4m}$

10.3 Max-Cut

Max-Cut定义：

• 在图$G=(V,E)$中，通过切割将该图分为A、B两部分，所需要切开的最多的边数

随机算法解决方案：

• 将每个顶点随机分配到A、B桶中
• 对于边$(u,v)$，若$u$、$v$不在同一个同中，切开这条边

去随机化解决方案（迭代贪心）：

• 通过$(v_1,\dots ,v_{t-1})$个顶点的分配，将$v_t$分配到一个合适的桶中
• 合适的桶条件为：放在最大切割期望的桶中
• 最大的切割期望求解方法为：？

10.4 K-SAT

什么是K-SAT问题：

• 有N个物品，每个物品有K个状态，在给出限制条件的情况下，问有无可行解。

去随机化解决方案：

• 和Max-Cut一样，通过前t个物品的状态分配，选择一个最合适的状态进行分配。