2023 年第八届数维杯数学建模挑战赛 A题详细思路

下面给大家带来每个问题简要的分析，以方便大家提前选好题目。

A 题 河流-地下水系统水体污染研究

该问题，初步来看属于物理方程类题目，难度较大。需要我们通过查阅相关文献和资料，分析并建立河流-地下水系统中有机污染物的对流、弥散及吸附作用的数学模型 。通过简单的查阅资料（其中公式为latex输入语言，大家看不懂的，可以直接看图片）

河流-地下水系统中有机污染物的对流、弥散及吸附作用的数学模型可以参考以下公式：

$$\frac{\partial C}{\partial t}+\nabla\cdot(\mathbf{v}C)=D\nabla^2C-\lambda C+R$$

其中，$C$是有机污染物的浓度，$\mathbf{v}$是地下水的速度，$D$是水动力弥散系数，$\lambda$是有机污染物的降解速率，$R$是有机污染物的源项或汇项。

对于吸附作用，可以采用双模式吸附模型，即：

$$S=\frac{K_dC}{1+bC}+\frac{S_0bC}{1+bC}$$

其中，$S$是沉积物上的吸附量，$K_d$是线性吸附系数，$S_0$是最大吸附容量，$b$是吸附表面亲和性常数。

对于阻滞作用，可以采用阻滞系数（R）来表示，即：

$$R=\frac{1}{1+\rho_b\frac{dS}{dC}}$$

其中，$\rho_b$是沉积物的密度。

问题一代码

import numpy as np

# 对流作用模型
def convection_model(C, rho, u):
    dCdt = -np.dot(np.gradient(rho*u*C))
    return dCdt

# 弥散作用模型
def dispersion_model(C, D):
    dCdt = D*np.dot(np.gradient(np.gradient(C)))
    return dCdt

# 吸附作用模型
def adsorption_model(C, q0, K, F):
    q = q0 + K*np.trapz(F(C), C)
    dCdt = -q*F(C)
    return dCdt

问题三 代码 示例

 

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt

# 读取表4数据
data = np.array([[0, 5.78, 1, 0],
                 [0.5, 5.39, 0.93, 14],
                 [0.25, 3.85, 0.79, 28],
                 [0.13, 2.55, 0.53, 42],
                 [0.087, 1.64, 0.34, 56],
                 [0.054, 0.84, 0.17, 70],
                 [0.027, 0.25, 0.052, 84]])

# 定义生物降解速率常数和微生物浓度的拟合函数
def model(x, k, C):
    return C * np.exp(-k * x)

# 初始化参数值
p0 = [0.01, 6]

# 拟合函数并输出结果
x = data[:, 3]
y = data[:, 1]
popt, pcov = curve_fit(model, x, y, p0=p0)
print('k_c =', popt[0])
print('微生物浓度分布:', model(x, *popt))

# 绘制拟合曲线
plt.scatter(x, y)
plt.plot(x, model(x, *popt), 'r-', label='fit: k_c=%5.3f' % tuple(popt))
plt.legend()
plt.show()

整体来看，难度较大，需要有较好的数学能力或者物理能力。问题二三将会后续问题分析中进行讲解。