7.7 空间曲线及其方程

作者简介：数学与计算机科学学院出身、在职高校高等数学专任教师，分享学习经验、生活、 努力成为像代码一样有逻辑的人！
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⭐ 高等数学专栏介绍：本专栏系统地梳理高等数学这门课的知识点，参考书主要为经典的同济版第七版《高等数学》以及作者在高校使用的《高等数学》系统教材。梳理《高等数学》这门课，旨在帮助那些刚刚接触这门课的小白以及需要系统复习这门课的考研人士。希望自己的一些经验能够帮助更多的人。

空间曲线的一般方程

空间曲线 $C$可以看作空间两曲面的$S_1$和$S_2$的交线，设两曲面方程为

$S_1:F(x,y,z)=0,$
$S_2:G(x,y,z)=0,$

因此，方程组
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{r}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0,\end{array}\end{array}$$
称为空间曲线的一般方程.

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空间曲线的参数方程

空间曲线也可以用参数形式表示，将曲线$C$上的动点的坐标$x,y,z$表示参数$t$的函数，即

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{rl}x& =x(t),\\ y& =y(t),\\ z& =z(t).\end{array}\end{array}$$
方程组 (2) 叫做空间曲线的参数方程. 当给定$t=t_1$时，得到曲线上的一点$(x_1,y_1,z_1)$，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.

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空间曲线在坐标面上的投影

1. 投影柱面及投影曲线

过空间曲线$C$做母线平行于$z$轴的柱面，称它为$C$关于 $xOy$ 面的投影柱面, 此柱面与$xOy$面的交线$C^{{}^{\prime }}$ 称为$C$关于$xOy$面的投影曲线(简称投影).

2. 投影柱面及投影曲线的求法

设空间曲线$C$的一般方程为$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{r}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0,\end{array}\end{array}$$
消去$z$得投影柱面$H(x,y)=0$，则$C$在$xOy$面上的投影曲线$C^{{}^{\prime }}$为
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{rl}H(x,y)& =0,\\ z& =0,\end{array}\end{array}$$
消去$x$得$C$在$yOz$面上的投影曲线方程
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{rl}R(y,z)& =0,\\ x& =0,\end{array}\end{array}$$
消去$y$得$C$在$xOz$面上的投影曲线方程
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{rl}T(x,z)& =0,\\ y& =0,\end{array}\end{array}$$

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