程序员面试金典 - 面试题 17.01. 不用加号的加法

题目难度: 中等

原题链接

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题目描述

• 设计一个函数把两个数字相加。不得使用 + 或者其他算术运算符。

示例:

• 输入: a = 1, b = 1
• 输出: 2

提示：

• a, b 均可能是负数或 0
• 结果不会溢出 32 位整数

题目思考

1. 不能用四则运算, 那还能用哪些运算符来实现呢?

解决方案

思路

• 我们先来尝试分析数字的二进制表示, 看看能否用位运算来替代加法
• 如果某一位的两个数字都是 1, 那么这一位的加法就会产生进位, 所以与可以用来计算进位, 而且显然进位是要左移一位的
• 接下来考虑如何得到当前位的加法结果. 异或在两个数字都为 1 或者都为 0 的情况下结果是 0, 否则结果是 1, 换言之异或就是不带进位的加法
• 将上面两步结合在一起, 我们就能把 a+b 转换成((a&b)<<1)+(a^b), 虽然这里仍然有加号, 但是我们将其置为新的 a 和 b, 循环这个过程, 直到进位变成 0, 这样最终异或结果就是两者之和了
• 注意最终进位一定能变成 0, 这是因为如果有进位的话, 进位是会不断左移的, 而题目保证最终结果不会溢出, 那么经过若干次循环后, 一定会达到一个不需要进位的状态, 不然无限左移就会溢出了
• C++/JAVA 等语言分析到这里就 OK 了, 但 python 需要特别处理负数问题. 因为 python 的负数表示方法不是像其他语言那样的 32 位补码, 而是更高位也全是 1, 这样在处理负数的时候必须手动模拟 32 位补码, 才能正确得出结果, 不然最后结果就不满足 python 正确的负数表示方式, 而变成无符号正数了
• 所以我们需要先将负数转成 32 位补码 (&0xFFFFFFFF, 正数仍为自身, 负数相当于 32 位补码形式, 因为去掉了更高位上的 1), 然后利用上述结果求完之后, 如果结果是负数(>0x7FFFFFFF)的话再转成正常的 python 负数表示方式(~(a ^ 0xFFFFFFFF), 即先对低 32 位的取反, 更高位不变, 然后整体再取反, 从而将大于等于 32 位的数字重新转成 1)
• 下面代码额外列出了 Java 版本, 方便大家对比. Java 的负数就是 32 位补码表示, 所以不需要额外进行处理

复杂度

• 时间复杂度 O(logN): 最多需要遍历所有位数, 数字 N 的位数为 logN
• 空间复杂度 O(1): 只需要维护常数个变量

代码

python 3

class Solution:
    def add(self, a: int, b: int) -> int:
        # 32位数掩码
        mask = 0XFFFFFFFF
        # 32位数的最大正数
        posMx = 0X7FFFFFFF
        while b != 0:
            # a是不带进位的和, 都要转成32位整数
            # b是进位, 都要转成32位整数
            # 循环直到进位为0, 那么a就是最终结果
            sumWithoutCarry = (a ^ b) & mask
            carry = ((a & b) << 1) & mask
            a, b = sumWithoutCarry, carry
        # 最终如果是32位负数的话, 需要将其转回python正常的负数表示形式(高于32位的全是1, 而不是32位负数那样更高位全为0), 做法是先对低 32 位的取反, 更高位不变, 然后整体再取反, 从而将大于等于 32 位的数字重新转成 1
        return a if a <= posMx else ~(a ^ mask)

Java

class Solution {
    public int add(int a, int b) {
        while (b != 0)
        {
            int sumWithoutCarry = a ^ b;
            int carry = (a & b) << 1;
            a = sumWithoutCarry;
            b = carry;
        }
        return a;
    }
}

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