证明支配集问题是NP完全问题

原题如下：

在一个无向图G=(V,E)中，对于D包含于V，如果对于每一个节点v，v要么在D中，要么在邻接于D中至少一个点，我们就称D为支配集。在支配集问题中，输入为一个图G以及一个预算b，我们的目标是在图G中找到一个大小最多为b的支配集，假设支配集存在的情况下。证明这个问题是NP完全问题。

证明如下：

我们可以将顶点覆盖问题归约到支配集问题。我们可以先对图G做一个预处理：

对于每条边uv，添加一个辅助顶点w，以及两条边 uw,vw，这样得到一个新图G0。接下来，我们将证明如下结论：若原图G中存在不大于b的顶点覆盖，这个顶点覆盖也是新图G0的一个支配集；反之，若新图G0中存在一个不大于b的支配集，那么对于这个支配集进行一些处理后也能得到一个图G的不大于b的顶点覆盖。

若原图G中存在不大于b的顶点覆盖，这个顶点覆盖也是新图G0的一个支配集：

如果图G有不大于b的顶点覆盖S，对于G0中的每个顶点v，要么属于S，要么v与S中的某个顶点相邻。然后假设此结论不成立，即存在v属于V，且v不属于S且V不与S中的任意一顶点相邻。因为图G0是连通的，所以一定存在边uv，且u不属于S。S是G的顶点覆盖，所以uv不属于E，就是说uv是一条新添加的辅助边。若v为非辅助顶点，由于v的所有非辅助边均被S所覆盖，所以v一定与S中的某个顶点相邻，与假设矛盾；若v为辅助顶点，假设v对应的非辅助边为uw，由于uw被S所覆盖，且u不属于S，所以w属于S，所以存在边vw使得v与S中的某个顶点相邻，与假设矛盾。所以这一部分得证。

若新图G0中存在一个不大于b的支配集，那么对于这个支配集进行一些处理后也能得到一个图G的不大于b的顶点覆盖：

我们可以进行如下的处理：设G0中有大小不大于b的支配集D，对于每条边uv以及相应的辅助顶点w，若w不属于D，则不做任何处理，因为此时uv至少有一个顶点属于D，否则w,u,v都不属于D，则w不与D中任一元素相邻，与D是支配集的结论矛盾；若w属于D并且u，v不属于D，那么可以在D中将w替换为u或v，若w属于D并且u属于D或者v属于D，则直接将w从D中删掉即可。所以第二个结论也是成立的。

我们已经知道顶点覆盖问题为NP完全问题，所以支配集问题也是NP完全问题。