VAE——变分自编码器的数学推导

问题

考虑一个生成模型(Generative model)，可以从一个隐变量(latent variable, z)映射到一张图片(x)，用有向无环图模型(directed acyclic graphical model / Bayesian network)表示为

上图表示，x的分布可以通过首先从p(z)采样得到z后再从p(x|z)采样建模。

• p(z) 是先验概率，意味着只需要选择一个合适的分布就可以了，一般采用单位高斯分布(unit Gaussian distribution)，因为高斯分布的熵最大。(Paper: Let the prior over the latent variables be the centered isotropic multivariate Gaussian $p(z)=N(z;0;I)$)
• p(x|z) 用神经网络进行表示$p(x|z;\theta )=decoder(z;\theta )$

此时已经对生成模型建模完毕，接下来为了进行求解，也就是要学习到参数$\theta$。目前，唯一确定的是数据集样本x，当可以得到$z\to \hat{x}$后，还需要确定$x,\hat{x},z$三者之间的对应关系，如下图

为题转换为：已知一个数据集中的样本x，如何确定对应的隐变量z，也就是求解p(z|x)。

因为$p(x)=\int p(x|z)p(z)dz$不可通过数值计算获得结果，且
$$p(z|x)=\frac{p(x|z)p(z)}{p(x)}$$
同样不可数值求解，因此使用近似推断的方法进行求解。近似推断有两大方法：MCMC(马尔可夫蒙特卡洛)和VI(变分推断)法，VAE正是使用了VI得名。

概念

泛函是将自变量函数映射到数值上的函数。
变分法求解泛函极值的方法。
散度可以简单的理解为不需要对称性的距离，即不要求从P到Q的值等于从Q到P的值。
KL散度 $KL(P(x)|Q(x))=E_{x\sim P(x)}[\log P(x)-\log Q(x)]$。

VI

预设一个关于隐变量的密度函数的集合$\mathcal{Q}$，从中找到一个函数$Q(z)$使得和$p(z|x)$的最接近，使用KL散度来衡量
$$Q^{\ast }(z)=\arg \underset{Q(z)\in \mathcal{Q}}{\min }KL(Q(z)|P(z|x))$$

由此，变分推断将一个推断问题转化为了优化问题。

(Paper: While there is much freedom in the form $q(z|x)$, we’ll assume the true (but intractable) posterior takes on a approximate Gaussian form with an approximately diagonal covariance)

MD, CSDN的公式编辑好垃圾…先不写了