小兔子酱#

【数据结构（28）】6.4 图的存储结构

文章目录

前言
一、邻接矩阵（数组）表示法
- 1. 无向图的邻接矩阵
- - 1.1 无向图邻接矩阵的特点
- 2. 有向图的邻接矩阵
- - 2.1 有向图邻接矩阵的特点
- 3. 网（有权图）的邻接矩阵
- 4. 采用邻接矩阵创建无向网
- 5. 邻接矩阵的优缺点
二、邻接表（链式）
- 1. 无向图的邻接表
- 2. 有向图的邻接表
- - 2.1 邻接表
  - 2.2 逆邻接表
- 3. 图的邻接表存储表示
- 4. 采用邻接表表示法创建无向图
- 5. 邻接表表示法的优缺点
- 6. 邻接矩阵与邻接表示法的关系
三、十字链表
四、邻接多重表

前言

由于图的结构比较复杂，任意连个顶点之间都可能存在联系，因此无法以数据元素在存储区中的物理位置来表示元素之间的关系，即图没有顺序存储结构，但是可以借助二维数组来表示元素之间的关系，即邻接矩阵表示法。
另一方面，由于图的任意两个顶点减都可能存在关系，因此，用链式存储表示图是很自然的事情，图的链式存储方式有多种，有邻接表、十字链表、邻接多重表。

重点介绍

邻接矩阵（数组）表示法。
邻接表（链式）表示法。

一、邻接矩阵（数组）表示法

建立一个顶点表（记录各个顶点的信息）和一个邻接矩阵（表示各个顶点之间的关系）

假设图 A = (V,E) 有 n 个顶点，则：

图的邻接矩阵是一个二维数组 A.arcs[n][n]，定义为：

1. 无向图的邻接矩阵

图有 n 个顶点，这个邻接矩阵就用 n x n来表示。
因为要描述任意两个顶点之间的关系，任意两个顶点都需要描述它们两个之间有没有边。

下图有五个顶点，那么就需要一个 5x5的方阵。

如果两个顶点之间存在邻接（有边）关系，那么邻接矩阵的值就是 1，反之为 0。

先观察 V1，V1到V2、V4有边记为1，其余顶点没有边记为0。

观察 V2，V2 到 V1、V3、V5 都有边记为1，其余记为0。

之后再观察 V3、V4、V5 到其余各顶点的情况，最后就得到了这个图的邻接矩阵。

1.1 无向图邻接矩阵的特点

对角线上的值都是 0。
- 因为对角线上都是每一个顶点和自身之间的关系，顶点没有到自身的边。

无向图的邻接矩阵是个对称矩阵。
- 无向图的某两个顶点之间存在边，V1和V2之间存在边，是邻接关系。同理V2和V1之间也存在着边，也是邻接关系。
- 两个顶点之间如果有边，这两个顶点之间互为邻接关系。

顶点 i 的度 = 第 i 行（列）中为 1的个数。
- 如：V1 所在的那一行有两个1，所以V1的度（与该顶点相关联的边的数量）为2。

特别：完全图的邻接矩阵中，对角元素为 0，其余为1。

2. 有向图的邻接矩阵

首先，矩阵有几行几列任然取决于顶点的个数。
在有向图中两个顶点之间的关系是有向的，顶点之间的边称作弧。

矩阵表示

如果存在着由当前顶点发出的弧，就在邻接矩阵当中记录一个1。没有发出弧的顶点在邻接矩阵中的值全为0。

从 V1 顶点出发，发出了两条弧，一条弧到 V2，一条弧到 V3，那么就在 V1 行的 V2 列和 V3 列记录一个1，其余记为 0。

V2 顶点没有发出任何弧，那么从 V2 顶点到其他所有顶点的邻接矩阵的值都为0。

剩下的 V3 只发出来一条到 V4 的弧，V4 只发出了一条到 V1 的弧。

注：在有向图的邻接矩阵中

第 i 行含义：以结点为 Vi 为尾的弧（即出度边）。
第 i 列含义：以结点 Vi 为头的弧（即入度边）。

2.1 有向图邻接矩阵的特点

有向图的邻接矩阵可能是不对称的。
顶点的出度 = 第 i 行元素之和。顶点的入度 = 第 i 列元素之和。
- V1 的出度就是看矩阵的第一行有多少1。
- V1 的入度就是看矩阵的第一列有多少1。
顶点 i 的度 = 第 i 行元素之和 + 第 i 列元素之和。
- 例如V1的度就是V1所在行的两个1加上V1所在列的一个1相加为，V1的度就是3。

3. 网（有权图）的邻接矩阵

网当中的边带有一个有特殊意义的值，这个值称为权值。

将网的邻接矩阵的值定义为：

如果两个顶点之间存在着边/弧，就在矩阵当中记录这两个顶点之间的边的权值。
如果两个顶点之间不存在边/弧，就在矩阵当中记录 ∞。

举个栗子

从 V1 出发的弧到各个顶点之间的权值记录为

从 V2 出发的弧到其余顶点的权值。

以此类推其余顶点到其他各个顶点的值

4. 采用邻接矩阵创建无向网

邻接矩阵的存储表示

用两个数组分别存储顶点表（一维数组）和邻接矩阵（二维数组）。

形式定义

//图的邻接矩阵存储表示
#define MaxInt 32767 //表示极大值，即 ∞
#define MVNum 100   //最大顶点数

typedef char VerTexType;//假设顶点的数据类型为字符型
typedef int ArcType;//假设边的权值为整型

typedef struct
{
		VerTexType vexs[MVNum];//顶点表
		ArcType arcs[MVNum][MVNum];//邻接矩阵
		int vexnum;//图的当前点数
		int arcnum;//图的当前边数
	
}AMGraph；

无向网都搞定了的话，建立无向图、有向图、有向网只需要稍稍改动就可以了。

算法步骤

输入总顶点数和总边数。
依次输入点的信息存入顶点表中。
初始化邻接矩阵，使每个权值初始化为极大值。
构造邻接矩阵。依次输入每条边依附的顶点和其权值，确定两个顶点在图中的位置之后，使相应的边赋予相应的权值，同时使其对城边赋予相同的权值。

算法描述

//采用邻接矩阵表示法，创建无向网 G
Status CreatUDN(AMGrph &G)
{
		int i,j,k;
		
		cin >> G.vexnum >> G.arcnum;//输入总顶点数，总边数

		//依次输入顶点的信息
		for(i = 0;i < G.vexnum;i++)
		{
				cin >> G.vexs[i]);
		}	

		//初始化邻接矩阵，边的权值
		for(i = 0;i < G.vexnum;i++)
		{
				for(j = 0;j < G.vexnum;j++)
				{
						G.arcs[i][j] = MAXInt;每个值都先置为极大值
				}
		}		

		//构造邻接矩阵
		for(k = 0;k < G.arcnum;k++)
		{
				cin >> v1 >> v2 >> w;//输入一条边依附的顶点及权值
				//确定 v1和v2 在 G 中的位置，即顶点数组的下标
				i = LocateVex(G,v1);
				j = LocateVex(G,v2);
				G.arcs[i][j] = w;//边的权值置为 w
				G.arcs[j][i] = G.arcs[i][j];//置的对称边的权值为 w
		}
		return 0;
}

//补充算法，在图中查找顶点
int LocateVex(AMGraph G,VertexType u)
//在图 G 中查找顶点 u ，存在则返回顶点表中的下标，否则返回-1
{
		int i;
		for(i = 0;i <g.vexnum;i++)
		{
				if(G.vexs[i] == u)
				{
						return i;
				}
		}
		return -1;
}

算法分析

该算法的时间复杂度是 O(n²)。
若要建立无向图，只需要对上述算法做两处改动：
- 一是初始化邻接矩阵时，将边的权值均初始化为 0。
- 二是构造邻接矩阵时，将权值 w 改为常量值 1 即可。

5. 邻接矩阵的优缺点

优点

直观、简单、好理解。
便于判断啊两个顶点之间是否有边，即根据 A[i][j] = 0 或 1来判断。
方便找任一顶点的所有邻接点（有边直接相连的的顶点）。
便于计算各个顶点的度。
- 无向图：对于行（或列）非 0 元素的个数；
- 有向图：对应非 0 元素的个数是“出度”；对应列非 0 元素的个数为“入度”（行出列入）。

缺点

不便于增加和删除顶点。
不便于统计边的数目，需要扫描邻接矩阵所有元素才能统计完毕，时间复杂度为 O(n²)。
空间复杂度高。
- 如果是有向图：n 个邻接矩阵需要 n² 个单元存储边。
- 如果是无向图：因其邻接矩阵时对称的，所以对规模较大的邻接矩阵可以采用压缩存储的方式，仅存储下三角（或上三角）的元素，这样需要 n(n-1)/2个单元即可。

二、邻接表（链式）

邻接表是图的一种链式存储结构。
- 在邻接表中，对图中每个顶点啊 Vi 建立一个单链表，把与 VI 相邻接的顶点放在这个链表中。
- 邻接表中每个单链表的第一个结点存放有关顶点的信息，把这一个结点看成链表的表头，其余结点存放有关边的信息，这样邻接表便由两部分组成：表头结点表和边表

表头结点表

由顶点构成的一维数组称为表头结点表

表头结点包括数据域 (data) 和链域（firstarc）。

数据域用来存储顶点 Vi 的名称或其他有关信息。
链域是用来指向链表中的第一个结点（即与顶点 Vi 邻接的顶点）。

边表

由表示图中顶点间关系的 2n 个边链表组成

边链表中包含邻接点域 (adjvex) 和链域 (nextarc)。

邻接点域（adjvex）：存放与 Vi 邻接的顶点在标表头数组中的下标。
- 如： V1 的下一个邻接的顶点是位于数组下标 3 的 V4 顶点，然后 V1 顶点还与位于下标 1 的 V2 有一条边。
链域（nextarc）：链域指示与顶点 Vi 邻接的下一条边的结点。

1. 无向图的邻接表

图 G 中有 5 个顶点，一维数组就开辟五个空间存储这些顶点。
每个元素空间还有一个指针，用来指向与该顶点邻接的第一个邻接点。
因为下标 3 的 V4 是 V1 的邻接点，下标为 1 的 V2 也是 V1 的邻接点，所以 3、1 的位置是可以互换的。

无向图邻接表的特点

邻接表不唯一（与某个顶点连接的边的顺序是可变的）。
若无向图中有 n 个顶点，e 条边。
- 则其邻接表需要 n 个头结点和 2e 个表结点。
- 所以无向图邻接表需要 O(n + 2e) 的存储空间，适合存储稀疏图。
无向图中顶点 Vi 的度为第 i 个单链表中的结点数。
- 每个顶点有多少个表结点，则和这个顶点关联的边就有几个。
- 如：V1 有 2 个表结点，所以和V1 关联的边有两条，V1 的度为2

2. 有向图的邻接表

2.1 邻接表

在有向图中，只需要保存以当前顶点为弧尾的这一条边（每条弧只保存一次，只保存发出的弧）。
没有发出弧的顶点的头结点表的链域就置为NULL。

有向图邻接表的特点

顶点 Vi 的出度为第 i 个单链表中的结点个数。
顶点 Vi 的入度为整个单链表中邻接点域值是 i-1 的结点个数。
- 如：想求V1的入度，就得去找邻接点域是1-1=0的结点有多少个。

2.2 逆邻接表

既然可以用每个结点来存储顶点的出度边，那么当然也能反过来存入度边。
在逆邻接表中，单链表当中的结点是入度边

有向图逆邻接表的特点

顶点 Vi 的入度为第 i 个单链表中的结点个数。
顶点 Vi 的出度为整个单链表中邻接点域是是 i-1 的结点个数。

练习：已知某网的邻接（出边）表，请画出该网络。
从出边可以得知，这是个有向网

每一个单链表都是一个以当前顶点为弧尾。
- 如：以顶点1为弧尾的出度弧有两条，分别邻接 2 顶点和 5 顶点。

依次找到所有的顶点出发的到其他顶点的弧，有向网就画出来了。

3. 图的邻接表存储表示

顶点的结点结构定义

//顶点结构定义
typedef struct VNode 
{//顶点的结构包含两个成员
		
		VerTexType data;//顶点的数据域，用来存储顶点信息
		ArcNode* firstarc;//指向边结点的指针
		
}VNode,AdjList[MVNum];//AdjList 表示邻接表类型
//说明：例如，AdjList v; 相当于：VNode v[MVNum]

弧（边）的结点结构定义

//边结点的结构定义
#define MVNum 100 //最大顶点数
typedef sturct ArcNode //边结点
{
		int adjvex;//指向相邻的邻接点位置的下标
		struct ArcNode* nextarc;//指向自身结点结构的指针
		OtherInfo info;//和边相关的信息，如：权值
		
}ArcNode;

图的结构定义

typedef struct
{
		AdjList vertices;//邻接表类型的数组，存储所有的顶点
		int vexnum;//图的当前顶点数
		int arcnum;//图的当前弧数

}ALGraph;

邻接表操作举例

4. 采用邻接表表示法创建无向图