考研数二第八讲 函数的可导性与连续性之间的关系以及高级函数求导

连续和中断

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一元函数可导与连续

可导的左极限存在指的是左导数存在,如果左右导数存在且相等,我们把这个定义成该点的导数值,(导数值要依赖于邻域存在,不像函数值,可以有单点处的函数值f(x_0))

可导可以推出来连续,连续并不能得到左右导数存在且相等。

如果满足在x_0处,f'(x)的左极限(按照我们上面的定义,f'(x)在每点处存在,此时看成新的一个函数)和f'(x)的右极限相等,且等于f'(x_0), 那么f'(x)连续。

可导一定连续,连续不一定可导。“可导一定连续”,这可以用数学方法证明;“连续不一定可导”,这可以举例证明,例如函数f(x)=∣x∣在x=1处连续且可导,在x=0连续但不可导。

一元函数的求导和微分

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求解高阶导数的方法汇总

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方法为:

1:归纳法
2:莱布尼兹公式法
3:泰勒公式
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函数求导四则运算

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反函数求导

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复合函数求导

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一元函数微分学考点:

导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、

平面曲线的切线和法线、导数和微分的四则运算、基本初等函数的导数、

复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法、高阶导数、

一阶微分形式的不变性、微分中值定理洛必达法则、

函数单调性的判别、函数的极值、

函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数图形的描绘、

函数的最大值与最小值、弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径

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