[智能交通]step3：霍夫变换Hough Transform

前言

在学习车道线检测相关，从最基础的图像处理开始
遇到的第一个算法是霍夫变换Hough Transform
故写下此文记录自己对于霍夫变换的理解

定义

霍夫变换用于检测简单的直线、曲线
以车道线检测为例子，经过灰度处理、滤波、边缘检测处理后得到下图
如何在有噪点、断点的条件下，找到红色的线，这就是霍夫变换所作的工作

一种直观的思想就是遍历所有直线，找到经过点最多的直线
但是如果用常规的$y=kx+b$，那么不得不面临的问题是在$y$趋向垂直时，$k$趋向无限大
显然这时极其占用运算资源的，因此Duda 和 Hart提出使用Hesse normal form来表示直线的参数:
$$r=xcos(\theta )+ysin(\theta )$$
$r$是从原点到直线的距离，$\theta$是$r$和$x$轴的夹角
如下图所示，黄色、绿色、红色的线都是过点$(x_0,y_0)$的直线
过坐标原点对直线作垂线，与之相交得到的垂足，就是公式$r=x_{0}cos(\theta )+y_{0}sin(\theta )$所包含的 $r$和$\theta$
即霍夫变换把每一条线转换成一个关于$r$和$\theta$的点

这个表达式的数学来源如下：
$$y_0=-\frac{cos(\theta )}{sin(\theta )}{x}_0+\frac{r}{sin(\theta )}$$
所以
$$r=xcos(\theta )+ysin(\theta )$$
在这样的情况下，如何表示点的共线呢？
在下图中，我们计算了三个点各自的直线的参数
可以发现，在60°处的支撑线都具有相似的长度r
即对应的线（下图中的蓝色）非常相似，可以假定所有点都位于蓝线附近，蓝线就是我们需要的线

即需要各个点的经过的直线$r$和$\theta$的参数非常相近
这些$r$和$\theta$单独画出来，就是下图所示的正弦曲线
因为$r=x_{0}cos(\theta )+y_{0}sin(\theta )=\sqrt{x_0^2+y_0^2}sin(\theta +\phi )$
蓝色、橙色、绿色分别是经过$(8,6)$，$(4,9)$，$(12,3)$点所有直线的$r$和$\theta$的参数集合
他们的交点是$(9.6,0.925)$（$r$和$\theta$参数下）
我们知道曲线上的任意一点代表一条过$(x_0,y_0)$的直线，那么交点代表的，是经过$(8,6)$，$(4,9)$，$(12,3)$这三个点的直线，也就是我们需要找的直线

作出垂直于$(0,0)$和$(9.6cos(0.925),9.6sin(0.925))$直线的线
得到我们需要的红色的线，可以发现确实是经过三个点的直线

一些其他的发现
将$r$和$\theta$的参数集合，即曲线，映射到笛卡尔坐标系下，即所有垂足的集合是一个圆
这很好理解，毕竟在极坐标系下$\rho =sin(\theta )$表示的是圆
根据定义就知道每一个点所表达的直线就是该点的切线

致谢

Hough Transform的论文
Hough Transform的wiki
OpenCV的Hough Transform文档